Remarque. — La quantité des points d'intersection de
l'espèce ici analysée, qui tombent sur une partie donnée du
plan à l'extérieur de la courbe, est exprimée par l'intégrale
2ffedJ,
étendue à cette partie. L'évaluation de cette intégrale réussit cependant seulement dans des cas particuliers. Une formule générale pour elle est donnée par le cas suivant, dans lequel le dénombrement des points d'intersection est exécutable d'une autre manière.
107. Problème XXXVII. — Une courbe fermée, convexe est renfermée dans une autre courbe fermée, convexe^ de figure quelconque. Découvrir la quantité des points d^ intersection que donnent les sécantes de la première courbe avec toutes les droites arbitraires du plan sur la surface annulaire limitée par les deux courbes.
Solution. — Nous considérons une sécante quelconque AD (fig. 63) de la courbe intérieure ; la quantité des points d'intersection, de l'espèce décrite, déposés sur la sécante, est pj g3 2{AB -{- CD)\ conséquemment, il y a
sur toutes les sécantes parallèles k AD 2f(AB-^ CD)dp = 2 (0 — segin MNH— segm PQK) points d'intersection et sur toutes les sécantes n N==- 2^(0- segm MNH- segm FÇK)d(p u
points d'intersection, lorsque 0 désigne la surface de l'anneau et (f l'angle qu'enserre MN avec une direction fixe. Par amplification, on obtient premièrement
N==27Te^2f{segm M MI -f segm Pi^K) d<p;
mais la deuxième partie du second membre peut être obtenue ainsi : au lieu de tourner les deux tangentes MN, PQ dans l'intervalle o à tt, on ne tourne qu'une, par exemple MN, dans l'intervalle o à27r, parce qu'elle prend alors toutes les positions qu'a prises antérieurement PQ. Par conséquent, si l'on désigne la surface du segment MNH par ^, après cette observation, on a
I) D'un autre côté, à raison du n" 106, 2® remarque, on a
N = 2ff(^dx(ly; sous les conditions établies dans le texte, la relation remarquable suivante existe donc :
1) ff^^^ dy = 710 — f 2 ff(p.
Un cas spécial, intéressant se présente lorsque le segment MNH découpé par la tangente MN a une superficie constante; alors, il vient
ffe dxdy = ne — 27i2 = n(Q-^2 2), et comme MNH = PQH = 2, 0 — 22 indique la différence des deux parties en lesquelles l'anneau est décomposé par la tangente 3/ iV; d'oîi suit la proposition: " Lorsque deux courbes fermées, convexes, quelconques, dont l'une enveloppe l'autre, se tiennent en telle liaison que toute tangente menée à la courbe intérieure découpe de la surface de la courbe extérieure la même surface partielle; lorsque B est l'angle sous lequel la courbe intérieure se projette d'un point extérieur x^ y; lorsqu'enfin J est la différence des parties en lesquelles la surface annulaire constituée par les deux courbes est divisée par une tangente à la courbe intérieure ; la relation
2) Jf6dxdy = 7iJ
existe, l'intégration étendue à la surface de l'anneau. „
La conjoncture admise ici a lieu avec deux cercles concentriques, par conséquent aussi avec deux ellipses concentriques, semblables et semblablement placées, parce que ces dernières
peuvent être envisagées comme la projection parallèle des premiers et, comme dans ce cas A peut être déduit par la voie élémentaire, la proposition susdite conduit à la valeur d'une intégrale définie, dont l'évaluation ne serait pas aussi aisée par la voie directe.
C'est-à-dire que si l'on rapporte les deux ellipses, dont les demi-axes peuvent être a, h\ xa, xb {x > 1), à leurs axes comme axes cordonnés, on obtient tout d'abord
3) S = arc tang -^ , f ' ^7—
^ ic^ -f 2/2 — a^ — ¥
Les deux cercles (fig. 64), dont les ellipses peuvent être dérivées, ont les rayons a et x a; on mène au cercle intérieur une tangente MN; la différence des parties en lesquelles elle décompose l'anneau est J'=n{x^a'^-a^).2se(jmMNA=7ï(x'^a^-(i^)
- 2 1 x^a"^ ^'X^a^sin ^ cas ^ I
=^x^a^\ 7T II ^j — a -\- sin a[,
CO 1 ou, parce que cos -^ = ypr, = — » aussi
J' — x^ a^ In sin^ — a -\- sin a\;
le transfert aux ellipses résulte de la multiplication par par conséquent, pour celles-ci, on a
= X* ab Itt
sm
