p- a + sin
inay
Par l'introduction des valeurs 3) et 4) dans la formule 2) de la proposition formulée plus haut, on obtient
5) i / firctg \.,^y,^^,.^t dxdy=nx^abYtstn^-^'a-\^sma^^, oii a = 2 arc cos — et l'intégration est à étendre à la surface
de l'anneau.
Pour X* = 2, devient a — -j- et est
arc tang ^» ^ ^i a* ^ 6* ^^ "^^ «= ^tt a6,
c'est-à-dire égale la surface de l'ellipse extérieure.
108. Théorème X. — La densité des points d' intersection de toutes 1rs srnintes arbitraires d'une courbe fermée, convexe avec toutes les sécantes d'une seconde courbe, de constitution semblable, enveloppant la première, en un point à l'intérieur de la première courbe s'élève à 2n, en un point entre les deux courbes à 20, en un point à l'extérieur de la seconde courbe « Ufi + ç) + u« + V; — Uy — u^, lorsque S désigne V angle sous lequel la courbe intérieure se projette du point correspondant^ y, xfj les angles sous lesquels Vanneau se projette du point correspondayit et lorsqu'enfin, par abréviation, on pose a — sin a = u„.
Démonstration. — 1. On trace autour du point à l'intérieur de la première courbe un cercle infiniment petit de superficie dJ; toutes les sécantes de celui-ci, interprétées comme des sécantes de la courbe intérieure, avec toutes les sécantes de la courbe extérieure, ou ce qui est la même chose, avec toutes les droites arbitraires du plan, donnent, d'après l'alinéa avant l'équation 3) du n° 97, 27idJ points d'intersection sur la surface du cercle; leur densité est donc
2. La densité des points d'intersection de toutes les sécantes de la courbe intérieure avec toutes les sécantes de la courbe extérieure, en un point de la surface annulaire, est derechef identique à la densité des points d'intersection des premières avec TOUTES les droites arbitraires du plan; par conséquent, suivant le n** 106,
3. Sur une surface de cercle infiniment petite, de superficie r/ J, entourant le point F (fig. 65, pag. 146),. on compte les points d*intei*section réciproques des sécantes de la figure
convexe A CHDFA; leur quantité, conformément à l'équation 1) du n° 98, égale
\(e + ç)) - sin (6 + (f)\ dJ^Uffj^^ dJ; puis on compte les points d'intersection réciproques des sécantes de la figure convexe BEGFDB; leur quantité
1(6^ -\-ip)— sin (6 -\-ip)]dJ=Uff^^ dJ; ainsi, les points d'intersection réciproques des sécantes de la figure convexe EGFDHCE sont comptés deux fois; mais ils doivent réellement se trouver deux fois dans la quantité cherchée, puisque chaque sécante de la figure indiquée en dernier lieu est à concevoir avec deux qualités, comme sécante de la courbe intérieure et comme sécante de la courbe extérieure; mais, parmi les points d'intersection comptés plus haut, se trouvent des points qui ne font pas partie des points en question; ce sont les points d' intersection réciproques des sécantes des deux figures convexes AEGFA et BCHIJB; leurs quantités
sont
((p — sin (f) dJ=^ u^ dJ,
{ip — sin \p) dJ =' u^ dJ.
Conséquemment, la densité des points d'intersection en P,
en réalité, est égale à
3) <^3 =Wfl + 9, + w^^^ — 1/^ — t/^,.
1. Remarque. — Sur le périmètre de la courbe intérieure, est 6 = Tir; par suite,
(T, = 2;r = (J, ; sur le périmètre de la courbe extérieure, est y -J- d -f- y/ = tt; par conséquent,
à:, = e -\- <f — sin (e -\- (f) -\- e -\- \p — sin {e + tp) — (p sin (p — xp -\- sin tp = 26 = â^, parce qu'on a sin (0 -\- (p) = sin t//, sin {6 -\- \p) = sin (p; le passage de à^k â^et de â^ à â^ résulte donc de manière continue.
2. Remarque. — Si L désigne la longueur, J la surface de la courbe intérieure, L la longueur do la courbe extérieure,
la quantité de tous les points d'intersection est LL'; de ceuxci, cf, J = 27r J se trouvent à l'intérieur de la courbe intérieure; la quantité des points restants est donc LL — 2nJ, D'un autre côté, la dernière quantité est exprimée par
la première intégration étendue à l'anneau, la seconde au plan entier au delà de L'. Donc se constitue l'équation remarquable, suivante :
4) 2ffedJ-]-ff{uf,^^A-u^^^-u^-u^)dJ=LL-27Tj,
109. Problème XXXVIII. — Dans chaque cercle de deux cercles concentriques, dont les rayons sont a ef xa(x>l), wwe sécante arbitraire est menée. Trouver la prohabilité pour que le point d'intersection des deux droites produites se trouve sur la surface du cei'cle intérieur, sur la surface annulaire, à l'extérieur des deux cercles.
Solution. — Des LL' = 4:Tt^oca^ points d'intersection de toutes les sécantes des deux cercles, conformément à la proposition ci-dessus mentionnée, tombent
27rJ=27i^a^ points d'intersection sur la surface du cercle intérieur,
2 C ÇedJ =2n x2 a* Insin'^ -|- — a + sin cA
sur la surface annulaire (v. le n** 107), conséqueniment
Att^ xa* — 2 TT* a^ — 2 7r*x* a* {n sin^ —^ — a -\- sin ce) à Texté-
rieur des deux cercles; les probabilités respectives sont donc
/J, = p— I TT sifi^ ~z a -\- sinay I a = 2 arc cos — l>
Pi = l—Pi —Pi.
Remarque. — Pour x* = 2, on obtient
0,3535..., />,= ^ = 0,2251..., ps=0,42l4,
Lorsque x = 1, les deux cercles coïncident; les formules ci-dessus donnent alors
/>. = "2"' Pi=^^ ^''^~2' s'accordant avec le n"" 97.
110. Tangentes d'une courbe plane. — La^notion d'une tangente menée arbitrairement permet diverses interprétations; la notion est seulement arrêtée quand le mode de formation de la tangente est indiqué plus amplement.
Les deux interprétations le plus présentes consistent en ce qu'on suppose le point de contact pris arbitrairement, ou la direction de la tangente, quelconque.
Les points de contact des tangentes du premier mode sont répartis uniformément sur la courbe ; ils la décomposent en éléments également grands.
Les directions des tangentes du second mode sont réparties uniformément sur le domaine entier de la direction; elles forment des angles de contingence également grands.
111. Théorème XI. — La densité des pomts d'intersection de toutes les tangentes qui petivent être menées dans une direction
Fig. 66 a. quelconque à une courbe fermée j convexe, en
P un point à V extérieur de la courbe^ s' élève à
7p7p7> lorsque 6 est l'angle sous lequel la
courbe se projette de ce point, et lorsque T, T' désignent les longueurs des tangentes qui sont menées de ce point à la courbe.
Démonstration. — La fig. 66b représente le cercle tracé Fig. f.r.i. autour du point P (fig. 66a); VQ, WR
représentent les tangentes PA, PB de la fig. 66a.
Les tangentes de la courbe, qui coupent ce cercle, peuvent être séparées en deux groupes : P celles dont les points de contact se trouvent à proximité immédiate du points (fig. 66 a); à l'intérieur du cercle infiniment petit, elles peuvent être supposées parallèles à VQ; 2** celles dont les points de contact se trouvent
à proximité immédiate du point B; elles peuvent, pour le même motif, être envisagées comme parallèles à WR.
Si l'on désigne par ^ l'angle de contingence, exprimé en mesure d'arc, infiniment petit, constant, des tangentes voisines de la courbe, les tangentes du premier groupe, à l'intérieur du cercle, comme elles possèdent ici la distance T au point de contact, ont la distance réciproque T&, les tangentes du second groupe la distance T'x^,
La corde CD (fig. 66b) est une partie d'une tangente du
premier groupe; pour compter les tangentes du second groupe,
qui coupent CD, on mène DE parallèlement à WB, CE
perpendiculairement à WR; la quantité mentionnée est alors
CE CD sine
par conséquent, la quantité de tous les points d'intersection à
l'intérieur du cercle,
sine ^
rp, a — ^^»
mais comme ^ ^
2CD, T^ = dJ= T&2CD, lorsque rfJ désigne la surface du cercle, ainsi s'écrit la quantité susdite aussi sous la forme
. 1 sin e , j
la densité des points d'intersection est exprimée donc, avec élimination du facteur constant -^n-» par
< X r sin e
1) ^ = yt'
112. Problème XXXIX. — Trouver la quantité des points d'intersection réciproques de toutes les taiigentes qui peuvent être menées à une courbe fermée, convexe, dans des directions quelconques, à l'intérieur d'une partie donnée du plan.
Solution. — La question trouve sa solution générale dans 'intégrale /* f"sin e , j.
r rsine
étendue à la partie relative du plan. La considération de quelques cas spéciaux conduira à des formules remarquables de cotte intégrale.
113. — 1. La totalité de toutes les tangentes de la courbe est mesurée par 27r, puisque leurs directions, dans l'intervalle 0 à 27r, sont à concevoir réparties uniformément; la quantité
de leurs points d'intersection est donc -p- (Stt)* — 27t^; par suite est
1) f f^-^;^,dJ^2n\
r rsin e
l'intégrale étendue au plan entier à l'extérieur de la* courbe. Par application de la formule au cercle, est (fig. 67)
cos
T= r=-rcotg4-^ dJ=27t OP.d OP^Ttr^ ^dS,
par conséquent, en réalité,
n r rsin 0 j ^ r sinB
J J ^"^ J rHotg^^
cos
si'nr
de = 2
sinr
Par application de la formule 1) à l'ellipse, s'obtient la valeur Pig g^ d'une intégrale définie, dont l'évaluation,
^ p par une autre voie, ne serait pas aussi
simple.
U'' y A l'aide du cercle tracé sur le grand axe
comme diamètre (fig. 68), s'obtiennent, lorsque X, y sont les coordonnées du point P
considéré, pour les coordonnées du point associé P', x,^-y;
puis est
Fig. 68.
2ab\/b^x^-]-a^y*—a^à»
sin S'
par conséquent,
