JA'B'P
Maintenant est
JABP^^r TT sinS^ — J A'B'P\ 2 a
par conséquent, avec utilisation de la valeur trouvée de JABF\
ensuite s'obtient par
tam ^=- -~r-i — \ — —* 1¥—
(v. le n" 107, équation 1), la valeur de sin^O, savoir
de manière que, finalement,
sin S ^ 2 {b*x* + Q^y')
TT' l(j;î^yîj^c^Y^ic^x^\\/b^x'-\-a^y* — a*b^ Il vient donc
b*x*-\-a*b* , , , — T- dxdy=- n\
lorsque l'intégration est étendue au plan entier à l'extérieur de l'ellipse.
114. — 2. Compter les points d'intersection sur la partie du plan, renfermée entre la courbe donnée et une courbe enveloppant celle-ci, le long de laquelle courbe enveloppante, 0 possède une valeur constante a.
Si Ton considère une tangente AB (fig. 69) de la courbe intérieure, on reconnaît facilement que la dite tangente est coupée dans rétendue A B par toutes les tangentes telles que CD, qui avec elle enserrent un angle ©, renfermé entre les limites a et 2 tt — a ; la quantité de pareilles tangentes est 2n — a — a = 2 (n — à); la quantité des tangentes ^-B est 27r; par conséquent, la quantité des points d'intersection tombant
sur la surface annulaire est -^' 2n,2{n — a) = 2n{7ï — a).
Par suite est 2)
r rsin s
-dJ = 2n{7i — «),
lorsque l'intégration est étendue à la surface annulaire.
115. — 3. Compter les points d'intersection sur la partie du plan, qui est enveloppée par la courbe et par deux tangentes fixes de celle-ci; ces tangentes forment l'angle a. AB{ûg. 70) est une des tangentes traversant le triangle *''«• '^^' mixtiligne formé par la courbe et par
les tangentes fixes PC, PB; cette tangente est atteinte dans l'étendue AB par chaque tangente qui avec elle, comme CD, enserre un angle 6 compris entre les limites Ô, et Of. Mais la quantité de telles tangentes est 6^ — B^ = n — « ; la quantité des tangentes ^ J5 est tt — a; par conséquent, la quantité des points d'intersection dans
PQR égale ^ (n — af. Donc est
r rsin e
dJ
'intégration étendue au champ indiqué plus haut. 116. — 4. Compter la quantité des points d'intersection Fig. 71. dans l'espace d'angle infini, formé par
J) m deux tangentes fixes.
MFQ, NPK (fig. 71) sont les tangentes fixes; leur angle est «; MPN^ l'espace d'angle infini sur lequel les points d'intersection sont à compter.
Nous considérons une tangente AB qui passe à travers cet espace d'angle ; elle est, dans celui-ci, rencontrée par toute tangente qui avec elle, comme CD, enserre un angle S plus petit que l'angle ti. La quantité de telles tangentes est u; la quantité des tangentes AB, de la direction prise, du; la. quantité des points d'intersection
réciproques, uilu; par suite, la quantité de tous les points
d'intersection du mode indiqué, / udu'^ -^ a*. Conséquem-
/ udu'^ -5- a*.
ment est „
4) J J TT'dJ-T''^
lorsque l'intégrale est étendue à l'espace d'angle infini MPN.,
117. Problème XL. — Trouver la prohahilité pour que deux tangentes menées dans des directions quelconques^ d'une ellipse, se coupent à V intérieur du cercle circonscrit au rectangle des axes, à l'intérieur du rectangle des axes même.
Solution. — La quantité de tous les points d'intersection des tangentes, d'après le n<* 113, est égale k27T^. Comme 0, le long du cercle circonscrit au rectangle des axes,
a la valeur constante -^ » sur la surface annulaire limitée par
le cercle et par l'ellipse, d'après le n<» 114, tombent 2n
iTT — — I = 7r« points d'intersection. Par conséquent, la
première des probabilités en question est
Le périmètre du rectangle des axes se décompose en quatre couples de tangentes fixes, dont chaque couple enserre l'angle
a= -^ î dans un des quatre triangles mixtilignes, que l'ellipse découpe du rectangle, tombent, suivant le numéro 115, -^
