TT

TT — — -I =— TT* points d'intersection; dans tous, -k^^

points d'intersection.

La probabilité échéant au second événement est donc

118. Théorème XII. — La densité des points d'intersection de toutes les tangentes qui peuvent être menées à une courbe fermée, convexe^ en des points quelconques de celle-ci, est

exprimée, en un point à l'extérieur de la courbe, par ^^, sin S,

lorsque H est l'angle sous lequel la courbe se projette du points lorsque T^T' sont 1rs lomjueurs des tangentes menées par ce point à la courbe et q,q' les rayons de courbure aux jmints de contact de ces tangentes.

Démonstration. — L'établissement de ce théorème s'obtient

par la proposition du n" 111. La formule à) donne là pour la

quantité des points d'intersection tombant sur le cercle décrit

autour du point considéré P, cercle de surface rf J, l'expression

1 sin ^ 1 j

L'angle de contingence iî^, là, est constant; ici il est variable et, au point A (fig. 66 a) et aux entours immédiats de celui-ci, a la valeur

au point B et en sa proximité immédiate, la valeur

Q' Dans l'expression écrite ci-dessus est donc à mettre à la place de ^^

QQ par quoi, elle se transforme en l'expression

De celle-ci, résulte la densité — avec élimination du facteur constant ds'^ —

1) rf = |Ç,smtf.

Le compte de tous les points d'intersection conduit à une formule d'intégrale remarquable; la quantité de ces points s'élève, lorsque L désigne la longueur de la courbe, manifestement à -^ L^; de sorte que

2) f fp^r,Bm«dJ^\L\

lorsque l'intégration est étendue au plan infini au dehors de la courbe.

119. Théorème XIII. — La somme des cubes des cordes ^ découpées sur toutes les sécantes menées à colonie d'une courbe fermée, convexe est mesurée par le triple carré de la superficie de la surface limitée par la courbe.

Démonstration. — La totalité des sécantes est représentée analytiquement par la variété continue, deux fois étendue des variables p^ S : p signifie la longueur de ,r,^ ^^

la perpendiculaire abaissée d'un pôle 0 (fig. 72) sur la sécante, et S l'inclinaison de cette perpendiculaire sur une droite fixe; les limites de S sont 0 et 27r, celles de p sont stipulées par la foniie de la courbe. Si l'on désigne par C la longueur de la corde PC, qui correspond à la combinaison des valeurs p^ d, la somme définie plus haut est exprimée par l'intégrale.

f f C^dpdS,

qui est à étendre au domaine complet de la variété décrite. La considération suivante conduira à une seconde signification géométrique de cette intégrale et par là à sa valeur.

Pour découvrir la quantité des lignes de jonction de couples de points pris arbitrairement dans la surface de la courbe, nous partons d'une couple de points A, B, fixons d'abord un point de celle-ci. A, et menons par ce point une corde PC, dont la perpendiculaire a l'inclinaison 0, puis une seconde corde P' Q\ qui enserre avec la première l'angle infiniment petit dO. La quantité des lignes de jonction AB, qui passent par A et dont les directions sont comprises entre PQetP' Q\ est exprimée par

J AFF' ^ J AQQ'^^\r^^{C-rY\de,

lorsqu'on pose AF=r, par conséquent ^ Ç = C — r.

A change-t-il maintenant aussi sa position sur l'élément de la surface, lequel élément est enclos par PC et par une corde P" Q" parallèle à PC, à la distance dp"^ La quantité des

lignes de jonction AB, dont les directions se trouvent entre

celles de PC et de P' Q\ est égale à

par conséquent, enfin, la quantité de toutes les lignes de jonction AB^ lorsqu'on confère à la corde BQ tous les éloignements admissibles, de 0, et, à la perpendiculaire toutes les directions, est

àyd^.

^ir-

Mais d'un autre côté, cette quantité est identique à la quantité de toutes les couples de points, qui peuvent être prises à l'intérieur de la courbe, par conséquent est égale à J^, lorsque J désigne la superficie de la courbe. Donc, on a la relation

1) ~ c^dpde^JK

d'oîi résulte l'affirmation produite

2) f fc^dpde = SJH'}.