Pointai ilaiis lies lignes
7. Problème I. — Dans la droite AB = a un point est pris arbitrairement; quelle est la probabilité pour que sa distance de A soit renfermée entre les limites x et x -}- dx, ou comme on dit br lève meyit^ pour qu'elle soit égale à xï
dx
Solution. - La probabilité demandée est — •
^. Problème II. — Combien grande est la probabilité pour (jue le point pris arbitrairrinrnf rl(nis AB n -oit plus prh de A 71/e deh'^
Solution. — La probabilité di niainUr est — ^» parce qu'il
y il autant do cas favorables que de cas défavorables.
!>. Problème III. — Avec quelle probabilité deux points pris à colonie dans AB=a, se trouceront-Us au dedans de Vvloiynement b de A?
Solution. — La probabilité pour qu'un point se trouve au
dedans do l'éloignement ô de A est ; la probabilité pour
que deux points remplissent cette condition est p= — ^'
10. Problème IV. — Trouver la probabilité pour que de deux (toints pris arbitrairement dans AB-=a, le premier soit plus éloigné de A que le second.
Solution — La probabilité pour que le premier point tombe
dx dans l'éloignement / «U A est — -î la probabilité pour que
le second se trouve plus près de^, donc au dedans de l'éloigné-
ment x de A, est î par conséquent la probabilité composée
et totale (■>{
/xdx 1
une simpl» lélK xion sanctionne ce résultat.
11. Problème V. — Dans la droite AB^-=a deux points sont pris arbitrairement ; combien grande est la probabilité pu tir 'pie leur éloignement réciproque dépasse une quafUité donnée b.^
Première solution. — La probabilité pour que le premier point se trouve à l'éloignement x, le second à l'éloignement y
de Al est — ^; on suppose
ainsi survient un cas favorable lorsqu'on a
2) y-xyb,
La probabilité cherchée est donc l'intégrale, étendue à la variété limitée par les inégalités 1) ... 3), de l'expression ci-dessus mentionnée; l'intégrale cependant doit être doublée pour recueillir aussi les cas
donc
p ■-= I y jdx dy = (^)'.
Deuxième solution. — On peut envisager les éloignements iP, y des deux points de A comme les coordonnées d'uN point P qui a été pris arbitrairement dans le carré OABC (fig. 1) de côté a; la différence arithmétique de ces coordonnées donne l'éloignement actuel des deux points premièrement désignés. Construit-on OD=OE = b, DF et EG parallèles à 05? Un cas favorable surque le point P tombe dans un des la probabilité de-
vient aussi souvent
triangles DÂF, CE G. En conséquence
mandée est
DAF-\- CEG OABC
12. Problème VI. — Une droite^ dont la longueur est a, est partagée en trois parties par deux points choisis à volonté; trouver la prohabilité pour qu'aucune partie ne soit plus grande que b.
Solution. — On prend arbitrairement dans le triangle rectangle isocèle ABC (fig. 2), oii AB = AC= a, le point P; On mène par lui les lignes FQ^ ES respectivement parallèle-
ment et rectangulaireinent à AB, rç, PU, PS peuvent valoir comme les sections mentionnées de la droite a. Ensuite deux cas sont à différencier.
