TROISIÈME CHAPITRE
Plans menés arbilrairoinenl.
186. Un plan est " mené arbitrairement „, dans le sens étendu, lorsque les conditions auxquelles il a à correspondre ne suffisent pas à sa détermination; il est " mené arbitrairement „, dans le sens restreint, lorsqu'il n'est lié à aucune condition. Pour les plans de la première espèce, selon les conditions posées, divers cas peuvent être différenciés ; les plus importants de ceux-ci sont classés ci-dessous :
1. Une droite est donnée; par celle-ci, doit être mené un plan. Comme la position d'un plan est déterminée par deux points infiniment éloignés et qu'ici il n'est donné que l'un d'eux, l'autre demeure à prendre arbitrairement.
Chaque semblable totalité de plans peut être ramenée à une totalité de droites passant par un point donné, lorsqu'on coupe les plans par un plan perpendiculaire aux droites données.
tronc de cône. Si la surface latérale de cette surface enveloppante est de nouveau désignée par 1', l'expression de la probabilité pour qu'une
droite quelconque qui rencontre 0 coupe aussi O' s'énonce - ' . ^ — .
Dans le cas ci-dessus, 0 = 0' = 47rr«, r= 4nr2 -f- 27irar; par cela, l'expression écrite là se montre justifiée. (»} Comp. à la question analogue dans le plan (n- 90).
De cela, entre autres, résulte la proposition : La quantité de tous les plans pouvant être menés par une droite donnée est mesurée par 27r, la quantité de tous les demiplans par 4 n.
2. Un point est donné; par celui-ci, un plan est à mener. Ici la POSITION du plan est complètement indéterminée et par conséquent est à prendre arbitrairement.
Chaque semblable totalité de plans peut être ramenée à une totalité de droites dans l'espace, qui passent par un point donné, pendant qu'on élève des perpendiculaires aux plans au point donné.
D'oîi Ton conclut :
La quantité de tous les plans pouvant être menés par un point donné a pour mesure 2n.
3. Un plan est donné; lui donner un plan parallèle. Ici la position est déterminée, en échange la situation du plan est indéterminée et est à prendre à volonté.
Chaque semblable totalité de plans peut être ramenée à une totalité de points, obtenue en coupant les plans par une normale commune. Il en résulte :
La totalité de tous les plans de position donnée y compris entre des limites données, est exprimée par la distance {perpendiculaire) des plans limites.
4. S'il s'agit d'un plan " absolument arbitraire „, ni la position, ni la situation ne sont déterminées, l'une et l'autre sont à prendre à volonté. Une telle totalité de plans peut se représenter décomposée en des systèmes de la troisième espèce qui sont parallèles, suivant le rang, aux plans d'un système de la deuxième espèce; la proposition suivante traite de leur mesure.
187. Théorème I. — Si p désigne la longueur ^ si 6, <p désignent les coordonnées angidaires de la perpendiculaire (') que Ion tire d'un point fixe, situé à l'intérieur d'une suif ace fermée, convexe sur les plans tangents de celle-ci, la quantité N
(*) Dans le sens du n* 129.
de tous les plans menés arbitrairement qui coupent la surface est exprimée par l'intégrale
p siii S dOd(f.
Démonstration. — La quantité de tous les plans qui coupent la surface donnée et dont les perpendiculaires possèdent des coordonnées angulaires entre les limites 0 et 6 -\- dS, (f et (p -\- d(f, en considération des développements du n** 129, est exprimée par
p sin 6 dO d(f.
Pour rapporter toutes les directions de la perpendiculaire, on a à intégrer cette expression par rapport à 0 entre les limites 0 et 27r^ par rapport à (f entre les limites 0 et y et on obtient ainsi, pour la quantité de tous les plans coupant la surface,
N = j j psinOdSd^.
Lorsqu'il s'agit d'une sphère, les plans se laissent dénombrer de manière plus simple; un diamètre est coupé par 2 r plans, et comme 2n est la quantité de tous les diamètres, inr est la quantité de tous les plans qui coupent la surface sphérique; l'intégrale ci-dessus fournit la même valeur.
138. Problème I. — Un disque orbiculaire tourne régulièrement et fort promptement autour du diamètre vetiicaL On tire, en direction horizontale, un coup de feu contre ce disque, pendant qu'on vise un point quelconque de la surface circulaire sous la forme de laquelle le disque tournant se présente à l'observateur. Trouver la probabilité pour que le disque soit touché.
Solution. — Dans le plan normal k la direction du tir, dans le plan normal qui contient l'axe de rotation, nous choisissons un système de coordonnées rectangulaires, à savoir le point milieu du disque pour origine, l'axe de rotation pour axe des abscisses. Le point M visé et, comme nous le supposons, touché de ce plan a les coordonnées a?, y; la probabilité
de la réalisation de cette supposition est — -p^» lorsque r
désigne le rayon du disque.
Ensuite, supposé que le plan du disque enserre au moment du coup avec le plan des coordonnées l'angle B^ pour quoi la
ri fi
probabilité est — > le disque sera atteint, si le point M tombe
à l'intérieur de l'ellipse sous la forme de laquelle le bord du disque, lors de cette position momentanée, se projette sur le plan des coordonnées; l'équation de cette ellipse s'énonce
la probabilité de cet événement simple, dont l'arrivée est liée à la condition
— + — ^- < 1 r* ^ r* cos* e^ '
ou
— arc cos
V/';îlbs<«<"-'-"Vr-^''
clrvc a
— arc cos\ / -^ — i-
Par cela, se livre la probabilité totale, composée de l'événement plus haut spécifié
7ir«
- r Carc cos y/^TZI^» ^^ <^y^
intégration étendue à la surface entière du cercle. D'abord, on a
/arc cos \ / -r^ — zdy = yarcco8 , ^ — ^r'^ — x^—yS d'où
arc cos^ ' ^
par conséquent, finalement est
.2 >jj« ^/p =
4 Trr^ 2
Si l'on désigne par w la probabilité pour que le tireur touche
le disque au repos, indifféremment en quel point, — « est la
probabilité pour qu'il atteigne le disque tournant ; la dernière
probabilité est donc environ les -^ de la première.
139. Problème II. — Trouver la prohabilité pour qu'une surface de cône droit à base circulaire soit coupée suivant une ellipse^ suivant une hyperbole, par un plan mené arhitrairemeiit.
Solution. — Nous désignons par a l'angle que les génératrices de la surface conique enserrent avec l'axe de celle-ci. On se représente mené par le sommet, au plan coupant, un plan parallèle; la section sera une ellipse, si le dernier plan et la surface conique n'ont en commun que le sommet, ou lorsque la perpendiculaire élevée au sommet à ce plan, forme
avec l'axe du cône un angle plus petit que -^ a; la proba-
bilité de ce fait est, d'après l'équation 1) du n° 130,
la probabilité d'une section hyperbolique est par conséquent
^ . „ / TT a\
Pour a = — > devient p^ q = -p-
140. Problème III. — On laisse tomber une monnaie vers un treillage illimité, horizontal, se composant de fils parallèles,
zh
équidistants ; trouver la probabilité pour que la monnaie^ dans la chute y atteigne un des fils du treillage.
Solution. — Il suffit de prendre en considération trois lils MN, FQ, RS (fig. 81) se suivant l'un l'autre; il est fait abstraction de leur épaisseur, ainsi que de celle de la monnaie; de même, la vitesse do rotation do celle-ci, relative à la vitesse de chute, est négligée. ABC est JEune transversale rectangulaire , commune; //, K sont les points milieux de ^^ = ^ C = a. -£-
Manifestement, il suffit d'exa- 10'
miner les cas dans lesquels le centre
de la monnaie, dans la chute libre, ^
marque un point de HK.
L'ellipse dessinée dans la fig. 81 représente la projection de la tranche de la monnaie sur le plan du treillage dans l'instant où la monnaie atteint le treillage et est en contact précisément avec le fil PC. 0 est le centre de la monnaie et on fait B0'= BO; le fil FÇ sera touché lorsque, avec la même LARGEUR BD DELA PROJECTION de la traucho, le centre de la monnaie passe par un point de 0 0'.
Si l'on désigne par p la probabilité pour que la projection de la tranche de la monnaie ait la largeur BD = 00' = h et par q la probabilité pour que le centre de la monnaie se meuve par un point de 0 0 ., la probabilité du concours des deux événements est
û) =^pq.
Premier Cas. — Le diamètre c de la monnaie est plus petit que la portée a des mailles du treillage. La largeur h demeure invariable aussi longtemps que la normale au plan de la monnaie forme, avec la transversale ABC, le même angle a, qui se donne par la relation h= c sin a; la probabilité y relative, en vertu du n^ 132, est
p = sin ad a; ensuite, comme //, pour toutes les valeurs de a, demeure plus petite que a, est
n = — = — sin ce , ^ a a
par conséquent
et la probabilité totale de l'événement en question
(û == — sm^ a da, a
1) P= — / sm* a da = -
' al a 4
u Deuxième cas. — Le diamètre c de la monnaie est plus grand que la portée a des mailles du treillage. On pose c sin «« == «; aussi longtemps que a < a^, devient aussi h = c sin a <^ a; p et q ont donc les mêmes valeurs que dans le premier cas. Mais est ce > «„, devient aussi // > a ; la monnaie doit alors nécessairement toucher le fil; /> conserve sa valeur antérieure, d'autre part, g est à égaler à l'unité. On a donc
— / sin^ ada-\~ i sin céda == ^~ la^^- — sin 2 «« ) f f'**^ «<
(0 «0 = -5- i-?^ + cos «0 ) = -TT ( — «^'^ ««*w — H V^* — «•)• 2 \sin a^ / 2 \ a ce. )
Ainsi, par exemple pour « = ttc (premier cas), est P= -j-;
pour a = c (limite entre le premier et le second cas), les deux
formules fournissent P = -— ; pour a = -^ (second cas),
devient P = -^ n -\- -r-V^- 0 4
141. Problème IV. — Trouver la prohafriïité pour qu*un plati mené arbitrairement qui coupe un ellipsoïde de révolution rencontre Véquateur de celui-ci*
Solution. — On désigne par n la quantité des plans menés à volonté qui coupent l'équateur, par iV la quantité des plans analogues, relatifs à l'ellipsoïde; on a
