DEUXIEME PARTIE

Moyennes géométriques.

Introduction.

143. La valeur moyenne ou la moyenne d'une totalité continue de grandeurs géométriques est à la moyenne d'une série discrète de grandeurs comme la probabilité se rapportant à une totalité continue de cas possibles est à la probabilité ayant pour base une série discrète de cas possibles. La marche à suivre pour la détermination d'une semblable moyenne géométrique s'appuiera par conséquent sur des considérations similaires de celles établies pour la découverte de probabilités géométriques.

Cette marche consiste à se représenter la totalité continue, remplacée par une totalité non continue de la même modalité essentielle, à former la somme de la série discrète des grandeurs géométriques et à diviser cette somme par le nombre de ces dernières; le quotient se rapproche, par la quantité croissante des valeurs séparées, saisies, d'une limite donnant la moyenne de la totalité continue.

Une condition nécessaire est que la série discrète qu'on imagine mise à la place de la totalité continue soit avec celleci de modalité égale, essentielle. Si la modalité n'est pas à conclure du texte même du problème, une indétermination subsiste, qui peut conduire, comme avec les probabilités géométriques, à des solutions contradictoires du même problème. Ainsi, la question de la valeur moyenne des ordonnées d'une courbe permet une double interprétation : ou les ordonnées résultent des points de la courbe pris arbitrairement, ou les ordonnées sont menées des points de l'axe des abscisses, pris à volonté ; dans le premier cas, les points de la

courbe, desquels les ordonnées sont tirées, ont à former une série régulière de points sur la courbe, dans le dernier cas, les points des pieds des ordonnées ont à former une série régulière de points sur la ligne des abscisses. Analytiquement, la différence correspond à celle entre les représentations de l'ordonnée comme fonction de l'arc et comme fonction de l'abscisse.

Pour transporter la détermination d'une moyenne géométrique dans le domaine de l'analyse, on représente la grandeur géométrique dont il s'agit comme la fonction d'une ou do plusieurs variables indépendantes, et on a ensuite la tâche de déterminer la moyenne d'une fonction pour toutes les valeurs ou pour toutes les combinaisons de valeurs des variables indépendantes qui constituent une variété donnée, continue, d'étendue simple ou multiple.

144. 1) La grandeur géométrique y est fonction d'uNE variable indépendante x-, c'est y = J (-p)» Soit limité le domaine des valeurs de x par les relations

a -^x ^ i; la moyenne M de y, relative à ce domaine de valeurs, est définie par l'équation

M ;,„^.T(«)+ar(«+^^)+y(«+2^x)+...+3F(&-^;r) »>"f3FW-^-^

Jx c'est-à-dire qu'est

7{x)dx.

L'expression de la moyenne permet encore deux autres interprétations qui peuvent être jointes ici au cas le plus simple.

Si l'on regarde les valeurs de la grandeur géométrique //, qui correspondent aux valeurs de la variable entre x et x -}- Jx, comme égales et s'accordant avec la valeur originaire JjF (^)» puisque Jx est une mesure pour la quantité de ces valeurs, y{x) Jx est une mesure pour leur somme, et

llm S^';^(x)Jx-^ Jj (x) dx

une mesure pour la somme de toutes les valeurs de y dans le domaine complet des valeurs de x; et comme /> — a est la mesure congénère pour la quantité des valeurs de x^ la moyenne peut être interprétée comme le quotient de la mesure de la somme des grandeurs géométriques par la mesure de leur quantité^ de leur nombre.

La fraction , exprime la probabilité pour qu'une

valeur // saisie à volonté de la grandeur géométrique dépende d'une valeur de la variable dans l'intervalle x..,x ~\-Jx\ suivant cela, la moyenne

M^UmYj{^)^^

peut être interprétée comme la valeur probable de la grandeur géométrique^ lorsque celle-ci est saisie arbitrairement dans la totalité.

Cette dernière interprétation de la moyenne a l'avantage de se laisser transmettre immédiatement au cas oîi le champ des valeurs de la variable indépendante n'est pas régulier, c'est-à-dire où la quantité des valeurs de cette variable, dans un intervalle, ne dépend pas seulement de la grandeur de celui-ci, mais aussi de sa situation dans le domaine des valeurs; alors, la probabilité pour qu'une valeur de y saisie à volonté dépende d'une valeur de ic entre les limites x Gi x -\- Jx apparaît sous la forme

y (x) Jx

5 if (x) Jx

et pour la moyenne de y se donne l'expression

^ ^(x\^lx !'S('>)<f(x)dx

, S<f(x)Jx Jif(x)dx

145. 2) La grandeur géométrique z est une fonction de deux variables indépendantes x, y. Dan^ cv cas, la moyenne d'une fonction z -^'^ (x, y), pour tout( > !• - < ombinaisoiis de viil.iiis (l'un (loinaîne donné K des variahlo ./•, y, est à déterminer. On convoit celles-ci comme les coordonnées rectangulaires d'un point d'un plan; une partie de ce plan correspond à K; cette partie délimitée d'une manière quelconque est décomposée en rectangles par deux systèmes de droites parallèles respectivement à l'axe des X et à l'axe des Y et distantes respectivement de Jy et de ^x-. les angles des rectiingles représentent un système des combinaisons de valeurs u;, y, auxquelles correspond un système des valeurs de ^ = y (j;, y). La valeur limite du quotient de la somme de ces dernières valeurs divisée par leur nombre, qui est égal au

nombre -^ — -j- des rectangles, donne la moyenne requise. /j X dy

C'est-à-dire que

JxJy et comme K = f f dx dy, on a finalement

j j dx dy

les deux intégrations étendues à la variété K,

146. 3) La grandeur géométrique u est une fonction de trois variables indépendantes x, y, z. Ici, la moyenne d'une fonction u = 3r (^» y» ^) pour toutes les combinaisons de valeurs d'une variété continue, donnée, K, des variables x, y, z, est à calculer. On conçoit de nouveau x, y, z comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace; une partie de l'espace correspond à K; on la décompose en parallélépipèdes par trois systèmes de plans, parallèles respectivement aux plans YZy z X, XY et distants respectivement de Jx, deJy, deJz; les angles des parallélépipèdes représentent un système des combinaisons de valeurs x, y, z, auxquelles correspond un système des valeurs de w = J (a?, y, z).

La somme des dernières valeurs divisée par leur quantité

-j — -j — -j^> se rapproche, avec /tx^Jy^^z diminuant à l'infini,

d'une limite qui est égale à la valeur moyenne exigée. C'est conséquemment

K fffdxdydz

JxJyJz J J J

les deux intégrations étendues au domaine de valeurs K.

147. 4) La grandeur géométrique u est une fonction des variables a;,, iCj, x^^... indépendantes, nombreuses à volonté. Pour déterminer la valeur moyenne d'une fonction w = 3F (^n ^«1 ^5;---) de variables nombreuses à volonté pour toutes les combinaisons de valeurs de celles-ci, toutes combinaisons qui constituent une variété donnée, continue, K, on imagine la variété continue remplacée par une variété discrète, dans laquelle les valeurs se suivant l'une l'autre des variables se différencient numériquemment, respectivement, de ^a?i, de Jx<i^ de Jxi,. . . A chaque combinaison des valeurs Xi,Xij Xz^... dans cette variété non continue, correspond une valeur de w; la quantité des combinaisons des valeurs est égale au quotient du contenu K de la variété par l'élément de celleci -^iCi Jx<i Jxt,,,. La valeur moyenne de la fonction est par conséquent

^ ^^.^ 222...J(xt,x,,x,,.,.)J J j ''»y(u),,x,,x,,...)dxtdx,dx^...

^^^-^ f f f " d^i d^% dx^ •"

JXi JxiJx^ ... ./ ^ ^

les deux intégrations étendues au domaine de valeurs K.

148. Outre ce procédé général, il y a encore des méthodes particulières pour la détermination des valeurs moyennes. L'application de ces méthodes élude fréquemment des intégrations difficiles et embarrassantes. Ces méthodes s'appuient sur des considérations géométriques, sur des propositions générales relatives aux valeurs moyennes, sur la connexion avec le calcul des probabilités, laquelle permet parfois la réduction de questions sur les moyennes ep questions beaucoup plus simples sur les probabilités, etc..