PROPOSITIONS ET PROBLÈMES
149. Problème I. — Trouver la valeur moyenne des ordonnées d'une courbe, lorsqu elles sont tracées a) de points quelconques de la courbe, b) de points quelconques de l'axe des abscisses. La courbe se trouve d'un seul côté de Vaxe des abscisses.
Solution. — a) Si ron désigne par y l'ordonnée correspondant à l'arc s de la courbe, par ds l'élément contigu de la courbo, par .S la longueur de la courbe entière, on a
y ds 1) JA="— ^— =r.;
}', indique l'ordonnée du centre de gravité de la courbe.
Cela conduit à la proposition :
Théorème I. — La valeur moyenne de V ordonnée tracée d'un point quelconque d'une courbe est égale à l'ordonnée du centre de gravité de la courbe, supposé que celle-ci soit disposée entièrement d'un côté de Vaxe des abscisses.
l 'ar exemple, pour la valeur moyenne des ordonnées de tous les points d'une demi-circonférence, s'obtient l'expression
rsin 6 rdB
b) Si l'on désigne par y l'ordonnée correspondant à l'abscisse a:, par a?o et par Xo les abscisses des points terminaux de la courbe, on a
f y dx
Yi indique la hauteur d'un rectangle qui se trouvant sur la ligne de base X,, — Xq possède la même surface que la courbe. D'après cela, se formule le théorème suivant : Théorème II. — La valeur moyenne de l'ordonnée dépendante d'une abscisse quelconque d'une courbe est égale à la hauteur d'un rectangle qui reposant sur la même partie de Vaxe des abscisses a la même aire que la courbe.
Conformément à cette proposition, la valeur moyenne de toutes les ordonnées d'un demi-cercle de rayon r, élevées sur le diamètre, est égale à
150. Problème II. — Calculer le moyen rayon vecteur d'une courbe, lorsqu'il est conduit a) à un point quelconque de la nnirhe, h) suivant un angle quelconque avec l'axe polaire.
Solution. — a) On désigne par q le rayon vecteur qui
découpe de la courbe l'arc s, par ds l'élément adjacent de la
courbe, par S la longueur de la courbe ; on a
j Q ds
L'évaluation du moyen rayon vecteur d'une ellipse, tracé d'un des foyers de celle-ci, peut servir d'exemple, .r, y sont les coordonnées centrales d'un point de l'ellipse et on pose
x= a cos ff, y = /; sin (f. On a
Q = a X = a — c cos (f^ ds = \a^ sm* y -f ^* cos^ y r/ç»;
conséquemment
I (a — c cos y) \a^ sin^ y + ^^ cos^ (pd(p
parce que ^n
f \a^ sin^ (f -\- b^ cos^ (p d(f = S
et est 271
/ cos (p Va* 8m* <p -\- b^ cos^ tp d(p = 0 u b) On désigne par q le rayon vecteur qui correspond à l'amplitude 0, par 6, et par 0^ les amplitudes des points terminaux de la courbe. On a
/ Qde
La distance moyenne, mesurée dans une direction quoi-
conque, d'un point donné à l'intérieur d'un cercle, à la circonférence, peut être calculée comme exemple.
s.Mt () (fig. 83) le centre du cercle, A le point donné, OA = c, r le rayon du cercle, AB = ç la fik. 83
longueur du rayon vecteur mené suivant l'angle XAB = 0, on a
par conséquent,
sin* 6 — ccos 6;
c'est-à-dire que la distance moyenne demandée est le rayon d'un cercle qui a la même longueur qu'une ellipse ayant pour
domi-axes /• et \ r- — c- = A C.
151. Problème III. — Un point matériel y sous l'influence d'uiir forre centrale, décrit une trajectoire elliptique; déterminer la inlcur moyenne des éloignements de ce point, mesurés à des instants quelcotiques, du centre de force (qui coïncide avec. un foyer de l'ellipse).
Solution. — On désigne par q le rayon vecteur du point mobile à l'instant t (compté à partir du périhélie); on a
f Qdt
les deux intégrations étendues à un circuit complet ou à un demi-circuit. Maintenant, si dB est l'angle que le rayon vecteur parcourt en l'élément de temps le plus prochain dt, en ver^u de la deuxième loi de Kepler, est
^Q'^de^xdt,
dans laquelle expression x désigne une constante. A la considération de cette relation, est
j fde
Q*de
Si a est le demi-grand - axe , s l'excentricité relative, /î -= a (1 = «2) le paramètre de la trajectoire elliptique, avec la conservation du mode de calcul antérieur, est
et ^ \ — ecosO
/- ' j (l—eeosOf ^ j \l — s+{l + t)tanfi«\''
si l'on pose tcmg ^ 0 = x et par là (1 -\- s) x^ = (l — e) y*, 0 et 00 deviennent les nouvelles limites et
avec la substitution y = tang w, cela donne enfin
___22! i (1 -f f ro.<î2<w)2^a)
L'intégrale au dénominateur de l'expression de 3f, c'est-à-
dirojç^ cJQ, représente la superficie de la surface de l'ellipse;
u donc est
3) fQ^de^TTa^l — e^y-
Les valeurs 2) et 3) introduites dans 1), donnent
152. Problème IV. — JJéamvrh' réioujnemeiit moyen de deux points qui sont pris arbitraireine^it sur la circonféretice d'un cercle donné.
Solution. — Visiblement, il est loisible de fixer l'un des deux points (A) et do renfermer l'autre (B) dans une demicirconférence. Maintenant, si l'on désigne par B l'angle que la corde AB enserre avec le diamètre mené par A, par r le rayon du cercle, on a
AB = 2rcos6, ih = 2rde; par conséquent,
ir*fcosede
nr n
\h\\. Problème V. — Dans une droite limitée, trouver la ffisfauce uioyenne d'un point pris arbitrairement à une extrémité»
Solution. — La simple réflexion enseigne que la distance moyenne demandée est égale à la moitié de la di'oite donnée.
154. Problème VI. — Calculer V éloignement moyen de deux points pris à volonté dans une droite limitée AB = a.
Solution. — Soient P, Q les deux points, AF=x^AQ = y; on a
ffiy — ^) d^ dy
i i dx dy
155. Théorème III. — Dans chaque domaine de deux domaines A, B (lignes, surfaces, espaces), extérieurs l'un à Vautre, un point est pris arbitrairement. M désigne une valeur moyenne relative à la situation réciproque de la couple de points produite et M', Ma, Mb sont des valeurs moyennes de même espèce, relatives cependant à deux points pris à volonté respectivement dans le domaine total A -f B, dans k, dans B. La relation suivante existe :
(A -f B)* M' = 2 AB M 4- A« Ma + B« Mb.
Solution. — Nous décomposons la somme des grandeurs géométriques en question, qui peuvent provenir de la prise
arbitraire de deux points dans le domaine total A -]- B, en ses parties composantes. Celles-ci correspondent, par ordre, aux cas où le premier point gît dans A, le second dans B; puis aux cas inverses ; ensuite aux cas oîi les deux points gisent dans A, les deux points dans B; donc, si nous désignons les sommes correspondantes par Sa-^b, Saj etc., nous avons
Sa + B = Sa, li -{- Su ,a + Sa-{- Sb^
ou, à cause de Sa, b = Sb, a ,
Sa + B =■ 2Sa,b 4- Sa -h Sb.
Comme Sa = A^ Ma , Sa, b ^ ABM, etc., la relation affirmée plus haut s'ensuit, savoir
1) {A + By M' = 2ABM^ A^ Ma -f B^ Mb. Pour le cas A = B, cette relation se simplifie et devient
2) 2M'=^M-\-Ma.
156. Problème VII. — Une droite limitée AB =- sl est divisée en deux parties jjor un point jms à volonté et, dans chacune de ces parties, un point est ensuite man/ué arbitrairement. Tromper Véloignement moyen des deux derniers points produits.
Solution — xeia — x sont les deux parties de ^ J5 formées par le premier point; Mx est la valeur moyenne correspondant à cette division; suivant le théorème du n** 155 et avec prise en considération du n** 154, est
a^^ = 2x(a-x)Mx^x^^^-(a-xy^^^^^^
d'où, après simple réduction, résulte
la valeur moyenne est donc indépendante de la proportion de la division.
157. Théorème IV. — Dans chaque domaine de deux domaines A + C, C -j- B (lignes, surfaces, espaces) se couvrant partiellement, un point est pris arbitrairement. M désigne une
valeur moyenne relative à la position mutuelle de la couple de points produite, et M', Ma» Mb , Me aovf <h's râleurs moyennes de nature semblable, relatives cependant à deux points pris à volonté respectireinent dans le domaine total A -h C -}- B = G, dans A, dans B, dans C. La relation suivante est valable :
2 (A 4 0) (C 4- B) M = G* M' + C« Me — A« Ma - B« M».
Démonstration. — La somme des grandeurs géométriques qui peuvent prendre naissance dans la prise des deux points dans le domaine total A -\- C -\- Bse décompose en plusieurs parties composantes qui correspondent aux cas suivants : le premier point git dans A -\- C,\e second dans C -\- B; puis l'ordre inverse de ces points; ensuite les deux points se trouvent dans A^ les deux dans B. Mais les cas où les doux points se trouvent dans C sont comptés doublement; ces cas doivent donc être déduits une fois. Avec les désignations employées au n" 155, on a
^G = Sa + c,c-i-B-\-Sc-\-B,A + c — Se -\- Sa -\- Sb, et cela donne, à cause de Sa ^ c, c + b = Se + b, a -\- c, la proposition énoncée ci-dessus :
2 (A -{-C}(C-\-B)M= G^ M' -]- C^ Me — A* Ma —B^Mh. Avec C = 0, on est ramené à la proposition du n° 155.
158. Problème VIII. — Dans chacune des deux droites liiHitées AB, Cl), qui ont la partie commune CB, un point est pris à volonté; trouver Véloignement moyen de la couple de point f> produite.
Solution. — Par utilisation de la proposition du n** 157 et par le n*' 154, s'obtient l'équation
2AB'CD'M==IL'~ ^C^*~-ÂC^.^f--BD*~\
de laquelle, résulte
,, ÂTj^ -{-CB' — ÂC^^ B1> ^AB.CD
159. Problème IX. — Dans la surface d'un cercle donné, un point est [rris à volonté et par celui-ci est menée une corde dans une direction quelconque; trouver la longueur moyenne de cette corde.
Solution. — Si 0 est le centre, r le rayon du cercle donné, Pie point pris à volonté, OP = x et, 6 l'angle sous lequel la corde A B menée par P est inclinée vers le diamètre tracé par P, on a
AB = 2 (r^ — x^ sin^ 6)^,
et la somme de toutes les cordes est exprimée par n
ff2 (r* — x^ sin* e)^2nx dx dB
3 / sin^B 3 / l'Cos^O 3 / l+ro,v6
de
± 3 A ^^ 3^' / ^-{-cosede[= ^^nr';
leur quantité est exprimée par-^- nr- = ,.-/*-; conséquemment, la valeur moyenne requise est
160. Problème X. — Trouver la distance moyenne d'un point de la circonférence à tous les points de la surface du cercle.
Solution. — On choisit le point de la circonférence pour pôle, le diamètre passant par ce point pour axe polaire; on a
i ir cos 0 f Jq^ dOdç
,, ff^'^ -t ^ 32^.
161. Problème XI. — Trouver Vêloignement moyen de deux points pris arbitrairement dans la surface d'un cercle domd.
Solution. — On désigne par r lo rayon du cercle et par Af la valeur moyenne requise; la somme des éloignements de toutes les couples de points est exprimée par
Elle varie, lorsque r est augmenté do d r, de
Mais aussi par une autre voie, cette variation peut être
trouvée, puisqu'elle provient des couples de points, desquelles
l'un ou l'autre point tombe dans l'anneau circulaire résultant;
elle s'élève à
