PP

ABC

La longueur de la courbe décrite pendant la marche complète est

arcCS^2PP' = -^^2CLL''^ CL, la sommation étendue au mouvement complet de CL. Mais -^ CL est réloignement moyen des points de l'élément CLL',

de C; par conséquent, CLL' .-^ CL, la somme des éloigne-

ments des points de cet élément, de C; donc 2CLL',-^ CL,

la somme analogue pour le triangle entier ABC. Il s'ensuit

que -T-wTî* SCLL'- -^-CL est en réalité l'éloignement moyen

du sommet C de tous les points de la surface du triangle. Pour démontrer que la courbe CPS est une parabole, nous la rapportons à un système de coordonnées, dans lequel C est Torigine, CA l'axe des abscisses et une parallèle k AU l'axe des ordonnées; ensuite est C Q ^ x, QP= y. Comme P doit se trouver sur la ligne de jonction du centre de gravité S' du triangle ^L Cet de C, de la similitude des triangles CÇP, CA J/, résulte la proportion

d'un autre côté, parce que P est le centre de gravité de la niasse concentrée en C du triangle CLB et de la masse concentrée en S' du triangle CAL^ existe la proportion

CP:PS'= CAL: CLB = ALiLB,

de laquelle, résulte