Problème XIV

Trouver Véloigiiement moyen des

FJg. 87.

IHjints d'un parallélogramme ^ d'un de ses points d'angle.

Solution. — Soit ABCD (fig. 87) le parallélogramme, AB= DC =^ a, AD== BC = b, l'angle BAD = «.

Si la valeur moyenne cherchée doit se rapporter au point d'angle A, on décompose le parallélogramme, par la diagonale AC = d, en triangles ; si 3/,, Mi sont les valeurs moyennes relatives à ces triangles, ABC, A CD, la valeur moyenne requise est

On introduit, pour 3/„ Mt, les valeui*8 formées suivant la prescription de la formule 1) du n<» 164; d'abord est

l\ 2 "^ 2b^ '^ h ^'a-\-d — bl

b-\-d (d^ — b^)id — b) b^sin^a , b-Jtd-\-a l' 2 "^ 2a« "^ a 6-1-rf— aj

en tenant compte des relations

c?2 «2 = 62 + 2rt6 cas a, d^ — b^ = a* + 2a^» cas a, on a

6 { ab ab b a-\-d—b

, è* sin'^a b-\-d-{-a

Pour un rectangle, plus simplement devient

De cela, par exemple, résulte Téloignement moyen des points d'un carré, dont le côté est a, d'un point d'angle,

3) 3f=-|-|2\/2 + /.(!+ Va)!,

et DU POINT MILIEU

4) M' = ^=^|2\/2 + ?.(H-V2Jl-

166. Problème XV. — Calctder V éloignement moyen de deux points quelconques d'un rectangle donné.

Fig. 88. Solution. — Soit ABCD (fig.88)

le rectangle donné, AB = «, AD = b,AC = d, P l'un des deux points choisis arbitrairement, AR=- Xj AS = y. On fixe le point P (0 et on renferme l'autre Q dans le rectangle A BPS; la somme des

éloignements relatifs P Q est exprimé par

(•) Dit plus exactement : on le renferme dans l'élément continu dx dy du rectangle.

m xy dx dy,

si m désigne l'éloigneraent moyen du point P, de tous les points du rectangle ARPS. Maintenant, pour épuiser toutes les couples (le points, on a à intégrer Texpression écrite dans les limiti - " i ■' par rapport à j;, et dans les limites 0 et i par rapport à y; et, à nmltiplier le résultat par 4. Mais comme d'un autre côté |a somme de tous les éloignements PC est exprimée par a* b^ 3/, lorsque M désigne leur valeur moyenne, on a, pour la découverte de cette valeur, l'équation

a* W- M = \ Il m xy dx dij ,

de laquelle, résulte, si on introduit pour m l'expression formée suivant la formule 2) du n*^ 165,

Pour la première intégrale, on trouve facilement

\x^ -\- y* xy dx dy

quant à la deuxième, si l'on intègre d'abord par rapport à //. l'intégration par parties conduit au but, en posant

3 , , ■ x-\-\lx^-\-y^ y3 dy = du, l ^ ^^ = v;

elle devient

Y^ y dxdy^-^l.—^ T +T0

la valeur de la troisième intégrale se livre par celle-ci par permutation des lettres a et b.

Si l'on introduit les trois valeurs trouvées à l'instant dans l'équation ci-dessus écrite pour M, se donne, après réduction correspondante,

Pour un carré dont le côté est a, on a plus simplement 2) M=^(2 + V2 + 5/.|l+V2]).

167. Problème XVI. — Trouver la distance moyenne de deux po'mts pris arbitrairement à Vintérieur d'une courbe quelconque fermée et convexe.

Solution. — Soit L la longueur de la courbe, J la surface renfermée par elle.

On part d'une position des points P, Ç, pour laquelle ils ont la distance z\ on désigne l'élément de surface en Ppar dP^ en Q par c? Ç ; on a

ffzdPdQ

les deux intégrations du numérateur étendues à la surface

entière.

D'un autre côté,

2z dPdQ

L' J^ est la probabilité pour qu'une sécante menée à volonté de la courbe comprenne les points P, Q, lors de la position prise de ceux-ci, et la probabilité totale de toutes les positions des points P, Q s'énonce

o ffzdPdO

les intégrations étendues comme plus haut. Par l'égalité de 1) et de 2), se donne

par laquelle équation le présent problème sur les valeurs moyennes est mis en corrélation avec celui du n'' 121 sur les probabilités, de sorte que lorsque l'un est résolu, l'autre l'est aussi.

Pour la probabilité se trouvant en question, une autre expression peut encore être déduite. On considère une position particulière de la sécante ; par rapport à un pôle choisi à l'intérieur de la courbe, les coordonnées p^ 6 sont attribuées à cette sécante qui décompose la surface en les segments 2^ 2'; la probabilité pour que les deux points pris arbitrairement viennent à se trouver de côté et d'autre de la sécante s'exprime

par

^ dp de 22'

la probabilité totale, par conséquent, est

l'intégration étendue à toutes les sécantes de la courbe. De l'égalité de 3) et de 4), résulte

5) M= ^ f I 22' dp de.

:) du n^ 121

Mais, dans l'équation a) du n'* 121, est trouvé

oïl C indique la longueur de la corde découpée sur la sécante. Cette expression, dans la jonction avec 4), conduit à la relation remarquable

6) ff C* dp de ^6 ff 22' dp de,

qui, de nouveau, en liaison avec 5), fournit une nouvelle expression pour if, savoir

7) ^=67« ' ' c^fipde.

^^fl^

La distance moyenne de deux points d'un triangle équilatéral servira comme premier exemple. A l'aide de la valeur de la probabilité trouvée dans le n® 123,

on obtient, en se basant sur la formule 3),

lorsque la longueur du côté du triangle est désignée par a.

Comme second exemple, peut servir l'évaluation de la probabilité pour qu'une droite menée à volonté^ coupant le périmètre d'un carré, comprenne deux points pris arbitrairement dans la surface du carré.

Avec utilisation de la formule 3) et de la valeur trouvée pour M dans l'équation 2) du n° 166, se donne

a> = ^^-(24 V2 + 5^.LH-V2|).

168. Théorème VI. — La distance moyenne des points d'une fi(/ure plane à une droite disposée dans le plan de la figure ne coupant pas son périmètre est égale à la distance du centre de yravitf' de la figure à cette droite.

Démonstration. — On se représente la figure décomposée en bandes élémentaires par des lignes droites parallèles à la droite donnée; dJ est la bande dont les lignes de Jimitation ont les distances y et y + dy kla droite;

est la valeur moyenne requise; donc, comme les deux intégrations sont à étendre à la surface entière de la figure, réellement cette valeur moyenne est égale à la distance du centre de gravité à la droite donnée.

169. Problème XVII. — Une droite délimitée est divisée arbitrairement en trois parties; trouver la valeur moyi^nne de la plus grande patiie, de r intermédiaire et de la plus petite.

Solution — Soit a la longueur de la droite; soient désignées les parties, de grandeurs décroissantes, par a*, par y, par z = a — X — y; on à

On considère a;, y comme les cordonnées rectangulaires d'un point P par rapport aux axes OJJ^ OJJ (tig. 89, p. 207); le

FIg. 89.

point P, si X, y doivent correspondre aux conditions 1), doit

80 ronfornior dans \o trinimlo li K F i\\\\ ost U)V\\\6. par les droii<'>

QA ... ar -= y,

BC ,.. y = a — X — y,

BI)..,a-' X — y = 0.

Conformément à la proposition du n" 1()8 la valeur moyenne de x est donc l'abscisse, la valeur moyenne dey l'ordonnée du centre de gravité de ce triangle dont les angles ont les coordonnées

B(a, 0), K l-^ a, -^f/ L vl-y a, -^aV c'est-à-dire c'est

170. Problème XVIII. — Quelle valeur moyenne a respectivement le plus grand côté, le côté interméd taire et le j>lus petit rôfé (le tous les triangles de même périmètre?

Solution. — Si l'on conserve les désignations du numéro précédent pendant que a indique le périmètre donné, aux relations 1) s'ajoute encore la suivante :

qui, par l'interprétation géométrique (fig. 89), conduit à une droite

laquelle, avec les droites antérieurement nommées, sépare le triangle A^i^'G^ comme domaine des points P dont les coordonnées satisfont aux conditions 1) du n** 169 et 2) du n" 170. Conséquemment, à cause de la proposition du n" 1G8, est

if 1/1 ,1 , 1 \ 13

171. Problème XIX. — Calculer la distance moyenne d'un point de la surface sphérique à tous les points à l' intérieur de la sphère.

Solution. — On se représente la sphère engendrée par la révolution d'un demi-cercle autour de son diamètre AB = '2r. Soient ç, B les coordonnées polaires d'un point dans la surface du demi-cercle, par rapport à A B, comme axe polaire, et par rapport au point A comme pôle; l'élément de surface QdSdç, lors de la révolution, décrit un élément d'espace, 2 TTC sin S.qdBdç = 2nQ^ sin SdBdç, dont tous les points possèdent la distance q de A. La distance moyenne requise est donc

'1 ^r cos fi Tt ' ■

i j 27Tç^sinSdSdç T

.¥ = "" =6'r / ros*esinSde=^^ r.

172. Problème XX. — Trouver la distance moyenne de deux points qui sont pris à volonté dans l'espace d'une sphère donnée»

Solution. — Puisque I -ô- ^^'^l est la quantité de toutes les

couples de points ou des distances, leur somme, lorsque M désigne la valeur moyenne de ces dernières, est

1) S'^l^-nA^M.

Cette somme varie de dS^ lorsque le rayon de la sphère s'accroit de dr; c'est-à-dire que s'associent à S les distances qui ont l'un ou l'autre point terminal dans l'enveloppe sphérique ajoutée. Pour la somme de ces distances, s'obtient, lorsque Mo indique la valeur moyenne des distances d'un

point de la surface sphorique à tous les points de l'espace spluM-iquo, l'expression

de sorti' que. lorsqu'on introduit pour 3/„ la valeur trouvée dans le n" 171, on obtient

dS=~^n^ r'dr.

r)r (rite r(|iiati()u, ivsiilt(\ |)ai- intégration,

2) S = -^ 7r2 A^. dr =-^n^ r\

et, par 1) et 2), se donne enfin

173. Théorème VII. — La distance moyenne des points d'un solide à un plan (/ni n'en coupe pas la surface est égale à ht </ist(/,n-r Jii ,; util il< (fravitéde ce solide à ce plan.

Démonstration. — Le solide est divisé en couches infiniment minces par des plans parallèles au plan donné et d I" est le volume des couches dont les plans de limitation ont les distances y et y -{- dy 3iU plan donné; ainsi se livre, pour la valeur moyenne exigée, l'expression

fydV

fdV

les deux intégrations étendues au solide entier. L'interprétation de V correspond effectivement à la proposition établie.

174. Problème XXI. — Calculer les valeurs moyennes des côtés rangés par ordre de grandeur de tous les triangles dont les côtés sont comjyris entre les limites données a et b.

Solution. — Les côtés rangés par ordre de grandeur croissante d'un des triangles peuvent être désignés par x, y, z; ces côtés sont liés aux conditions suivantes :

Si ic, //, z sont envisagés comme les coordonnées rectangulaires d'un point, les points qui satisfont aux conditions 1) à 5)