AO F

remplissent l'espace d'un pentaèdre ou d'un tétraèdre dont les plans de limitation sont présentés respectivement par les relations 1) à 5), par les relations 1) à 4), lorsqu'on y fait valoir les signes d'égalité ('). Les coordonnées du centre de gravité de l'un ou de l'autre de ces solides sont, en vertu de la proposition du n« 173, les valeurs moyennes de ic, y, z,

1. Est h > 2a, les plans 1) à 5) limitent un pentaèdre ABDGKF qui, dans la fig. 90, est représenté par ses

{}) Coinp. au no 15.

projections sur les trois plans coordonnés et peut être envisagé comme la différence entre les tétraèdres ABCD et EFCG, Les volumes de ces tétraèdres sont

et comme leurs points d'angle ont les coordonnées suivantes à lire facilement sur la figure :

au centre de gravité du tétraèdre ABCD, échoient les coordonnées

au centre de gravité du tétraèdre EFCG les coordonnées

l'ai la s( donnent, avec adjonction des volumes 6), les coordonnées du centre de gravité du pentaèdre /IB/XtA'/'', ou les valeurs moyennes des côtés a-, y, z, savoir

y^K^)— y Y. — {b-af-\{h-2af

Les expressions se simplifient quelque peu lorsqu'on pose .a ^ 2a ^

elles s'énoncent alors

2. Lorsqu'est è < 2a, les plans 1) à 4) [les relations citées sont lues avec le signe inférieur] limitent le tétraèdre ABCJ); le plan 5) passe au-delà de celui-ci. Les valeurs moyennes de x, «/, ^ tombent d'accord donc avec les valeurs de X, F, Z dans 7), de manière que

M(x)^^{Sa-^b),

Les valeurs moyennes correspondant au cas limite b = 2a s'obtiennent aussi bien par les formules 8) que par les formules 9), savoir

10) Jtf(x)=-|-A, Jtf(y)=-|-i, M{z) = ^b.

175. Théorème VIII. — V désigne un domaine (ligne surface, espace) variable soumis à V arbitraire^ enveloppé par un autre domaine A invariable; M (V) est la valeur moyenne

de \, |> l<i i>r<>l"ihiHtê totale pour <fu'in/ point pris arbitraire-

nu'til (ht us A fonihe dans le domaine V ; la relation suivante est

valable :

Démonstration. — Les valeurs de V correspondent aux valeurs ou aux combinaisons de valeurs d'une variété continue d'une variable ou de plusieurs variables; cette variété peut s'appeler K. Si dK est l'élément de cette variété contigu à une valeur V saisie à volonté, la probabilité en question, quant à cette valeur particulière F, est exprimée par

dKV^ K A'

sa valeur totale est par conséquent

l'intégration étendue au domaine entier de valeurs de K.

fVdK Mais — ^ — représente la valeur moyenne de F, donc réellement est

Corollaire. — Par une considération semblable, on se convainc que la probabilité pour que /* points pris arbitrairement dans A tombent aussi dans le domaine F est égale à

lorsque, par M ( F"), on entend la valeur moyenne de V\

176. Problème XXII. — Sur un cercle fixe, donné, un second cercle est jeté arbitrairement. Calculer la longueur moyenne de l'arc (du périmètre du premier) que le second cercle couvre.

Solution. — Soient 0 (fig. 91, p. 214) le centre, R le rayon du cercle fixe; Q le centre, r le rayon du cercle mobile; ensuite

FiK. ni.

est ABC = s l'arc qui est couvert par le second cercle. Un

tel arc s'obtient