avec r y R

Par l'égalité respective des expressions 1) et 2), 1) et 2'), se donne la valeur moyenne requise

3) M(8)'^^ pourr<i?,

donc indépendante de la grandeur du cercle fixe; et se donne

4) M{8)^2nR (5^)' pour r > /?.

177. Problème XXIII. — Dans une droite Imitée, de longueur a, deux iwints sont pris arbitrairement; trouver la fdh'Hr nioffennc de la //•'""' puissance de leur distance.

Solution. — Soient A', )' Ks deux points; leur distance s'appelle z. On se représente n points ultérieurement pris dans la droite. La probabilité pour qu'ils tombent tous dans l'étendue XY^ conformément à l'équation 2) du n" 175, égale

h un anlK tôh'. p est la probabilité pour que parmi les (n + 2) (// + 1) arrangements possibles des {n + 2) points, un arrangement survienne dans lequel .Y, Y sont les deux points extïémes, et comme il y a deux arrangements tels, ainsi est

ox 2

De l'égalité de 1) et de 2), résulte

3) ilf(2«) =

Par exemple, se donnent M (z) = -jt-j s'accordant avec le n« 154, iV(^«) ^ — ^\ etc..

178. Problème XXIV. — Calculer la valeur moyenne du carré de la distance mesurée dans une direction quelconque d'un point j au'dedans d'une courbe fermée, convexe^ à cette courbe.

Solution. — Si ^ est la distance mesurée dans la direction d'inclinaison 0 avec une droite fixe, on a

fç^dS

•m comme i o^ dS — 2 J, lorsque J est l'aire de la courbe, la

valeur moyenne requise est

OU est égale au carré du rayon du cercle qui possède la même aire que la courbe, et dans lequel cercle aussi le point de départ des distances se trouve.

Il résulte de là immédiatement que l'aire moyenne des cercles qui sont décrits avec les distances ici considérées comme rayons est égale à l'aire de la courbe donnée.

179. Problème XXV. — 'Trouver la valeur moyenne du carré des distances de tous les points d'une figure plane délimitée à volonté à un point donné du plan de la figure.

Solution. — c? J est un élément de la figure donnée, Q sa distance à un point donné ; ainsi est

Çq^ dJ 1) 3/ = ^--^-,

l'intégration étendue à la figure entière. Si l'on désigne par x le rayon d'inertie de celle-ci par rapport à un axe normal à son plan, axe passant par le point donné; par Xq la grandeur analogue rapportée au centre de gravité de la figure ; enfin, par J la distance des deux points mentioimés, l'équation 1) peut s'écrire sous la forme

2) M = X2 = Xo^ + ^\

180. Problème XXVI. — Dans chaque partie de deux parties délimitées à volonté d'un plan, un point est pris arbitrairement; calculer le moyen carré de la distance de Vun à Vautre point de la couple de points produite.

Solution. — Les superficies des deux figures peuvent être désignées par J,, J,; leurs rayons d'inertie rapportés à leurs centres de gravité respectifs, par x,, x,; la distance des centres de gravité par J. Si l'on fixe Tun des points quelconques, par exemple P dans </,, et désigne par q sa distance au centre de gravité de la figure J,, le moyen carré de sa distance à J„ suivant l'équation 2) du n^* 179, est

conséquemment, la valeur moyenne demandée est

riiitégration étendue à J,. Lorsqu'on introduit, pour ^, la valeur do l'équation 1), devient

181. Problème XXVII. — Trourer le moyen carré de la distance de deux points qui sont pris arbitrairement dans vue figure plane ^ déliwitée à volonté.

Solution. — La question découle de la précédente lorsqu'on y suppose les deux figures J,, J^, congruentes et qu'on les fait coïncider. Alors x, = x, = x et ^ = 0; par conséquent, conformément à l'équation 2),

Ainsi, par exemple, le moyen carré de la distance de deux points dans la surface d'un cercle de rayon r est égal à

182. Problème XXVIII. - Trourer la surface moyenne d*un triangle sphérique.

Solution. — On fixe un sommet du triangle ABC, par exemple A, et l'angle ce en ce sommet; à chaque triangle ABC, correspond un triangle A' BC,et\s. somme des deux triangles est le fuseau ABA'CA. Mais comme la valeur moyenne de ABC, manifestement, est la même que celle de ^'jBC, chacune s'élève à la moitié du fuseau. De cette considération, résulte la valeur moyenne requise

f-^ABACA.da fr'ada

M = ' - = îî = 4r^^^

c'est-à-dire qu'elle est égale à la huitième partie de la sui-face sphérique ou à la surface du triangle trois fois rectangle. Corollaire. — Combien grande est la probabilité pour que quatre points pris arbitrairement sur une surface sphérique se trouvent sur la même demi-sphère?

On relie trois des points, par exemple A, B, C, par un triangle; avec ces trois premiers points, le quatrième D git sur la même demi-sphère lorsqu'il ne tombe pas dans le triangle opposé k ABC. Comme la valeur moyenne de ce triangle s'élève à | 0, lorsque 0 est la surface de la sphère, on a, conformément à la proposition du n*' 175,

183. Problème XXIX. — Trouver la surface moyenne des cercles tamients intérieurement au périmètre d'un polygo7ie donné circonscrit à un cercle.

Solution. — Les côtés AB, BC, CD,... du polygone (lig. 92) sont désignés par o, b, c...; le rayon du cercle inscrit Fig. 92. est désigné par r; son centre se

trouve en 0. On joint les extrémités d'un côté, par exemple A B, à 0; on mène MN, à la distance RS = X, parallèlement à ^^; la somme des surfaces de tous les cercles de rayon x, qui sont tangents au côté AB, est exprimée par

Ttx^.MN.dx;

r ' jj ce qui, parce que MN = a, équivaut à

— x^ (r — x) dx;

par là, la somme des surfaces de tous les cercles tangents intérieurement au côté ^jB s'obtient étcale à

na r — / ^

(r — x) dx ^ j^ n air;

par rapport au périmètre entier du polygone, cela donne

et comme la quantité de tous les cercles est exprimée par la surface du polygone, c'est-à-dir la valeui- moyenne cherchée est

surface du polygone, c'est-à-dire par -^ r (a + i + c + •♦•)>

TTr*,

ou est égale à la sixième partie de la surface du cercle inscrit au polygone.

184. Problème XXX. — Trouver la surface moyenne des cercles fjui peinent être dessinés dans vn polygone donné j circonscrit à Uti rrrrh .

Solution. — Les centres de tous les cercles de rayon x dessinés dans le polygone ABC»., (fig. 92) tombent dans un polygone MNP... dont les côtés sont parallèles aux côtés du polygone donné, à la distance RS = x; comme ce polygone est semblable au polygone donné, son aire est

2 (a + i + c -f ...) I I et la valeur moyenne requise

(a + b + €+..). x^r — xYdx

{a -hb + c -{-...) {r — xydx

nr*

185. Problème XXXI. — Trouver l'aire moyenne de lu podaire d^une courbe donnée, *■'«• ^^

convexe, fermée, par rappoH à un point quelconque de sa surface, comme pôle.

Solution. — Dans la fig. 93, soit C la courbe donnée, S le centre de gravité, /2 la superficie de la sui-face limitée par la courbe. Pie point pris arbitrairement; a?, y sont les coordonnées de ce point par rapport à des axes rectangulaires passant par S comme origine; F désigne la superficie do la podaire de C par rapport à P.

La valeur moyenne cherchée est

ifl

Vdxdy.

Si l'on considère une tangente quelconque de C,par exemple TT', et mène à celle-ci de P et de -S* les perpendiculaires PD ==■' Q et SB = r, ces dernières apparaissent comme des rayons vecteurs des podaires de C rapport par à P et à S. En posant l'angle XSB = y, on a

OU, à cause de ç = r — xcos cp — i/ sin y, aussi

^^^~2 I *'*^îP+"ô~ / (^cos(p -{-ysinipYdg)- 1 r(xcos(p-{-ysin(p)d(f

Il 0 0

= -2" / ^*<^y+-2~^(^^ + y*) — j r{xcos(p-\-y sing))dg),

Le premier terme du second membre de l'égalité exprime l'aire de la podaire de C relative au centre de gravité <S^ comme pôle; si l'on désigne ce terme par J et introduit la valeur de V dans l'équation 1), s'obtient

2) i¥=J+^-^ / I (oi^^-hy^)dxdy--jy j j j r(xcos(p-]-ysin(p)dxdyd(f.

Mais la double intégrale du second membre représente le moment d'inertie de la surface de C par rapport à un axe passant par S, dirigé normalement au plan de C; si le rayon d'inertie correspondant est désigné par x, est

3) ff (x^ + y^) dx dy = Six^;

l'intégrale du troisième terme disparait, parce qu*avec les axes choisis est

4) I j xdxdy = j j ydxdy = 0.

Si l'on introduit les valeurs de 3) et de 4) dans 2), finalement devient

5) M = J + ^nx^,

c'est-à-diro que la valeur moyenne des surfaces de toutes les podairos égale la surface de la podaire rapportable au centre de gravité, augmentée de la demi-surface d'un cercle ayant pour rayon le rayon d'inertie correspondant au contre do gravité.

Si la courbe donnée est une circonférence de cercle de rayon r, est

par conséquent M = -t- nr'^.

Pour une ellipse dont les domi-axes sont a, h, on trouve, après un calcul simple,

et par là 3f = -q- tt (a* + ¥).

186. Problème XXXII. — Calculer V aire moyenne de tona h s triangles de périmètre donné et de hase donnée.

Solution. — La base est désignée par «, la somme des deux autres côtés par b^ un de ces côtés par x; la surface du triangle est égale à

et sa valeur moyenne, puisque x est lié aux conditions

a + X y b — ic, a -]- b — X ^ X, est

L(h2 a2)i f{a^ — {b — 2xy\l béa

M = ? = -ArTra V ^* - rt\

187. Problème XXXIII. — Trouver la superfine moyenne de tous les triangles de péi'imëtre donné.

Solution. — Lorsqu'on désigne le périmètre donné par 2 s, deux des côtés par x, y, la surface du triangle est exprimée par

\s[s — x) (s — y)(x-\-y — s)\i; comme maintenant x^ y, sous la supposition x ^ y, sont liés aux conditions

^ + y>«» ^ < s la valeur moyenne requise est

f f{s(s — x)(s — y){x + y — s)\^dydx

/ I dy dx

■ f\^{s — y)\-^dy f\l s(y

.|jV,.,„if„|

s) -\- (2s — y) X — a?* dx L y2 r dx

>•) + (2s — y)x — ir*

fy'\s{s^y)\\dy = ^^^ f(s^-z-Yz-dz^^J2s)\

Ce sont les ^ de la surface du cercle qui est inscrit dans

le triangle équilatéral se trouvant parmi les triangles. 188. Problème XXXIV. — Trouver la surface inoyeiine du triarigle qui est dêcou2)é d'un triangle donnée équilatéral par U7ie droite menée arbitrairement.

Solution. — ABC (fig. 94) est le triangle donné, s la longueur d'un côté de celui-ci, KF la droite menée arbitrairement avec les coordonnées p^ 0 rapportées à ^ et à un axe ^ A' perpendiculaire à^^, Fia surface du triangle A KF\ on a

f fVdudb

ffdpde

Si Ton pose A E = x, est

/' ./• Siwd, (//> = dx sind;

on introduit ces valeurs dans l'équation 1) et on limite, en considération de la symétrie de la figure, l'intégration par rapport à <?, à l'intervalle 0 à J tt; ainsi s'obtient 1

x*\/S8in*e

f fry'T:i.dxde

f fax sine de "

Quant à l'intégrale restante, la substitution \ tt -{- e = x^ conduit au but; on obtient

/ stn(\n'\-B) I stn^ / ( 4 4 '4 swi^\

= i \-e„g» — )l^in„&^^l .hi„g^i)-\^ =-4-(3'-3-2)

Donc finalement est

189. Problème XXXV. — Dans la surface d'un triangle donné, deux points sont pris à volonté et relits par ufie droite. Trouver la surface moyeyme de la plus grande des deux paiiies tn lesquelles le triangle est divisé par cette droite.

Solution. — Soit ABC (fig. 95, p. 224) le triangle; soient a,Z», cses côtés, D le milieu de BC^ l'angle CAD = a; P^ Q peuvent être les points pris à volonté et EF leur ligne de jonction. Nous posons

nous considérons d'abord P comme fixe et renfermons Ç dans

l'élément zdOdz entre les droites EPFet E' PF', dont l'incli-

ï"*» ^^ naison mutuelle l'une sur l'autre

estc?d. Si l'on appelle iv la surface

de la plus grande partie de ABC^

1) defwzdz

est la somme des w pour toutes les positions de Q dans EPE'.

A une variation de x de dx et de ;/ de dy, correspond un élément de l'aire du triangle en P do la grandeur sin Odxdy; conséquemment, on obtient pour la somme des ?/*, pour toutes les positions de P dans l'élément EE'F'F, l'expression

sinSdOdx i f wdy zdz.

laquelle expression est à doubler, puisque P et Q peuvent être permutés.

Si maintenant on pose

JABC=^1, JCEF=v est 1) w = 1 — t-, lorsque 6 demeure entre les limites 0 et ce et X entre 0 et b. En échange, si 6 se trouve entre les limites ce et A, est 2) w = 1 — v^ aussi longtemps que x se trouve

entre 0 et la valeur x' pour laquelle v devient ^ ; en compensation est 3) w = V lorsque x varie entre x' et h. L'expression complète de la somme des w, sur le domaine assigné des valeurs de x et de 0, est donc

2 ffff (1 — r) sine de dx dy z dz