fsine de f J dy z dz \f (1 — r) dx + J v dx j

l f f{l'r)stnedey'^dx + ^ f\ f(l'r)y'dx+ Çty'^dxUinei

le.

Maintenant est

x^ sin C sin B *" "■ 2 8in (C H- ef

X sin C sin 6 dx Dp =

8in(C-^e) , ^ bUin^-Cde 2 8in^(C-\-ef X sin C

^ sin {C -h ey

par là s'obtient 4) sin SâBy'^dx =^2 — dudv.

Par introduction de la valeur de 4) dans l'expression 3), les variables 0,x, auxquelles Tintégration est encore à étendre, sont remplacées par de nouvelles variables w, r. Et comme aux valeurs 0, a, A de 8, correspondent les valeurs 0, J, 1 de u, puis aux valeurs 0, x\ h de x, les valeurs 0, *, m de r, l'expression 3) se transforme en la suivante :

^' ' 2^'^ ^éu

f l'(l-r)uidi,tu/,+^ n ni-v)v(lr+ f,'(lrhr>

lj\i-o„),ul. + ^J(,r' + S,r-)J,.^^^ + ^l.2.

Cinq expressions semblables, indépendantes des angles et d(»s côtés du triangle, s'obtiennent encore, parce que, pour épuisoi- tous les cas, chaque côté est à combiner avec les deux angli > jHljaconts à ce côté, de la maiiitic pioduite. Donc, la valeur moyenne exigée, lorsque — comme cela a été supposé — la surface du triangle ABC est prise pour unité (de sorte qu'aussi la quantité des couples de points f, Q est exprimée par 1), est

190. Problème XXXVI. — Dom la surface (Vuu rrrric donné, deux j)oints sont pris arbitrairement et par nux-ri soiif menés des cercles qui sont tangents à la circonférence du cercle donné; calculer la surface moyenne de tous ces cercles.

FiK. %. Solution. — Dans la fig. 96, 0 est

le centre du cercle donné de rayon a; P, Q, une couple de points pris à volonté. Pour fixer ces points, on joint P à 0 et à Ç, et on pose

0P = ax, PQ = a//, / OPQ = y.

C est le centre d'un cercle qui passe par P et par Q et est tangent à la circonférence du cercle donné, r son rayon; ainsi est

oc" =. (a — ry =()P -\-PC^ — 2 OP . PC cos OPC

^a^x^-\-r^ — 2 ar x cos {(f — CPD);

si l'on décompose cos {(f — CPlJ) et observe que r cos CPU

^^ -^ ay, par conséquent que s in C1)P = "vl '*^ — T^'yf^\

s'obtient, pour la détermination de r, l'équation

{a — rf = «2 ^-2 j ,.2 — (,2 ^.y f,f,f, fp — 2 r^ x sin (flr- —a- //- J '-ï ^

laquelle, ordonnée par rapport à r et avec utilisation des abréviations

1) Jl2 = 1 — x^ sin"^ (f, m^ = l — x^,

s'énonce

2) 4 A''^ r'-ia (t«* -f ^y cos (p) r -h a^ {m* -\- 2 m- xy cos(p-\-x^y')-^{).

Les racines r,, r^ de cette équation sont les rayons des deux cercles qui passent par Pet par Q et sont tangents à la circonférence donnée; la somme des surfaces de ces deux cercles est

i 7r(r,M-r,^)==^L(^'i+r-)2-2r,r,] 3) \ \a^(m^-\-xycos(fY a^(m^-\-2m'^xycos(p-\-X'y'^)\

Premièrement, si le point P est fixé, l'élément de la surface de cercle en Q est exprimé par ay d(f d (ay) ==- a^ y dy dif\

si l'on accorde ensuite au point /' tniites les positions dans l'intérieur de l'élément de surface correspondant, consistant en un anneau circulaire avec les rayons ax et ax -\- d (ax)^ et par conséquent égal à 27r a^ x dx, on obtient, pour la valeur moyenne des surfaces des cercles décrits, puisque leur quantité t'st '1 i'- >i\

i I I I '^('i'' ' i\-}a't/df/d(f.27ta^xdx=- l 1 i ^'^dxydydif,

II s'agit maintenant de trouver les limites d'intégration. 1. Lt's limites dey sont 0 et — ^; pour la dernière limite,

s'obtient, par l'équation (r. J OPE)

a^^a^xH Ph>— 2ax.PE.ros(p, la valeur

— i ^xros ff -hV ^* ^o*** y+ \.-x^ = xcos(p-\-y \'X^ sin^(f = X-\-x

rosif.

Lorsqu'on ajoute au résultat de cette intégration, le résultat de la substitution de tt — y à y, on n'a besoin d'étendre