J ABC ^ S, -^J ABC

d'oîi résulte

la surface moyenne de chacun

- fin triniiD'ÎP.

du triangle

J/- ^ JABC.

107. Théorème IX. — Udirr moifrtnn' (Vun triangle, formé LU unissant un point quelconque d'uHr fif/iirc plane délimitée à volonté avec deux points fixes d'une dmifr ijui se trouve dans le plan de la figure sans couper le périmètre de celle-ci y est égale à l'aire du triangle formé en unissant le centre de gravité de la figure avec les points fixes.

Démonstration. — Cette proposition est une conséquence du théorème du n^ 168.

19^. Problème XLIII. — Dans la surface d'un triangle, un point < st pris ((rhifndrcntcnt et est joint aux trois sommets; trouver l'aire un.^/mne respectivement de la plus grande, de l'intermédiaire et de la plus petite des trois parties en lesquelles le triangle est décomposé* ,

1« Solution. — ABC (fig. 103) est le triangle donné, S son centre de gravité, P le point pris arbi- vie- 103.

trairement ; le triangle A B P, se trouvant au-dessus de AB^ sera le plus grand lorsque F tombe dans le quadrilatère ESDC; il atteint par conséquent sa surface moyenne lorsque P coïncide avec le centre de gravité du quadrilatère ESDC ou avec les centres de gravité d'un des triangles ESC, DSC{yAe n° 197), parce que les trois centres de gravité spécifiés se trouvent sur une parallèle k AB, Donc est

Par des considérations semblables, on reconnaît que la valeur moyenne respective du triangle reposant sur A B, de grandeur intermédiaire, de grandeur la plus petite, se présente lorsque le point ï* coïncide respectivement avec le centre de gravité d'un des triangles A SE, BSD, avec le centre de gravité du triangle ABS.

Par conséquent est

2® Solution. — On désigne les distances du point P aux côtés BC = a, CA = b, AB = c, suivant l'ordre, par x, y, z, les hauteurs des triangles correspondant à ces côtés par A,, hi, /aj, la surface de ABC par J-, ainsi sont valables les relations

ax -\- hy -\- cz = 2J,

ah^ = bhi = chi = 2J, desquelles résulte la nouvelle relation

ht hi h^ Si l'on désigne les trois quotients du premier membre de cette égalité par ^, rj, f, la question se présente sous la forme: trouver la valeur moyenne de la plus grande, de l'intermédiaire et de la plus petite partie de l'unité divisée arbitrairement en trois parties. Si ^ est la plus grande, C la plus petite partie, en vertu du n'' 169, est

Mm^M{f)^^, M(,)=m(-|^)=A, M(t)=iir(A)==^,

donc, comme plus haut, on a

,./a \ lia. 11 . „/i \ 5 i . 5 .

199. Théorème X. — Da?is chaque figure de trois figures se trouvant dans le même plan, délimitées à volonté, dont les pérmètres ne peuvent pas être coupés en même temps par une droite, un point est pris arbitrairement; l'aire moyenne du

KiK. 104.

trinnffh déterminé par les trois points produits est égale h Vaire dit triangle formé en unissant les centres de gravité des figures.

Démonstration. — yl„ ^4^, A^ (fig. 104) sont les trois figures, •S^i, ^tj S^ leurs centres de gravité, P, (?, R les trois points quelconques. R seul est envisagé comme variable, pendant que Pet Ç sont regardés comme fixes; ainsi, la valeur moyenne des triangles PQR '( est le triangle PQS, (v. n« 197).

La valeur moyenne des triangles PQS^, lorsque Q seul est envisagé comme variable, est le triangle PS:^ S^.

La valeur moyenne des triangles PS^Si lorsque P prend toutes les positions dans ^4,, c'est-à-dire la valeur moyenne des triangles PQR, lorsque tous les points sont envisagés comme arbitraires, est donc de fait le triangle S, S, S..

Corollaire. — La proposition ci-dessus peut être étendue à plusieurs points et à plusieurs figures lorsque celles-ci sont disposées de telle manière que les périmètres de trois quelconques d'entre elles ne peuvent être coupés en même temps par une droite.

200. Problème XLIV. — Dans la surface d'un triangle d<ynnéf deux points sont pris arbitrairement et avec un sommet sont unis en un triangle; trouver Vaire moyenne de celui-ci.

Solution. — Soit ABC (fig. 105) le triangle donné, dans lequel les points P, Q ont été pris à Fig. 105.

volonté; 3/ désigne la valeur moyenne de la surface de PQ C. Si l'on joint le milieu D de AB avec C et désigne par M' la valeur moyenne de PQ C, lorsque Pet Q se trouvent de côté et d'autre de CDj par M " la même valeur moyenne, lorsque Pet Ç se trouvent du même côté de CD, en vertu de la proposition du n^ 154, est

2 jV/ = AT' 4- M";

maintenant manifestement M" = -^ 3f, parce que J ADC ==^ J DBC = -^ J ABC\ par conséquent

et comme enfin (suivant le n<* 199) M' égale la surface du

triangle formé en unissant les centres de gravité de -4Z>C et

de DB C avec C et par suite M' égale -x- J ABC, on sl

M^^JABC,

201. Problème XLV. — Dmis la surface d'un triangle donné, deux points sont pris arhitrairernent et avec un point quelconque d'un des trois côtés ces points sont reliés en un triangle; déterminer la surface moyenne de ce triangle.

Solution. — La surface moyenne correspondant à une position particulière, caractérisée par JiP =- a;, du point P dans le côté AB (fig. 106) est Mx. Si l'on sépare les cas dans lesquels Ç, R se trouvent l'un ,j5 et l'autre dans le triangle APC, l'un et l'autre dans le triangle FBC, enfin chacun d'eux dans un de ces triangles, et désigne les valeurs moyennes respectives par Mi, M^, M^, la proposition du n° 154 conduit à l'équation

1) (JA n Cf Mx - (JAPCfM, -f (^P/i Cy M, -\-2JAPC'JPBC- M,. Maintenant, on a (v. le n« 200)

M, = -^ JAPC, ^^-^^ ^B C,

puis (suivant la proposition du n*^ 199)

M.^^JABC-,

lorsqu'on introduit ces valeurs dans l'équation 1), il vient

(JABC)* Mx = 2^7 {JAPCf-\--^ (JPBC)^+ -|- JAPC-JPBC • JABC,

ou lorsqu'on exprime les surfaces séparées des triangles au moyen de AP= x, do AB = c et de la hauteur li du triangle yli^ Codent la superficie peut être représentée par»/, on obtient

2) J^M,^ {^^J^^af' + ^{c-zy+^cx{c-x)]^-

La valeur moyenne requise étend i de Pdans AB est

•Il tes les positions

Jj'M.dx

cJ»

Fig. 107.

202. Problème XLVI. — Dans la surface d'un carré donné deux points sont pris arbitrairement et, a) arec un sommet, h) avec le centre du carré, sont reliés en un triangle; déterminer la surface moyenne des deux triangles successivement formés.

Solution. — a) Le carré est décomposé par la diagonale A C (fig. 107) en triangles et M\ M" se ri\]^portent aux cas dans lesquels ]\ V • trouvent de côté et d'autre de AC et se trouvent du même côté de AC; conformément à la proposition du n" 154, est

puis on a M' = JASS' = -7^ du carré {S, S :sunt les centres

de gravité des triangles ABC, ADC), M" = ^ J ABC = ^

£ti 27

du carré (v. le n« 200); par conséquent M

du carré.

KiR. 108.

b) On décompose le carré, du centre du carré, en quatre carrés égaux (fig. 108); alors trois groupes de cas se différencient :

1. P, Q se trouvent dans le même carré; soit M.' la valeur moyenne du triangle;

2. P, Q se trouvent dans deux carrés différents situés l'un à côté de l'anti-e; soit M" la valeur moyenne du triangle;

3. P, Q se trouvent dans deux carrés opposés diagonalement; soit M'" la valeur moyenne du triangle.

Si la surface du carré donné ABCD est prise pour unité, il existe entre ces trois valeurs moyennes et la valeur moyenne requise M la relation suivante :

P.M^4(|yil/+4.2(jyM" + 2.2(|yj»r,

M' et M'" sont égaux en grandeur, puisqu'à chaque triangle OPQ de la troisième espèce correspondant un triangle de même aire de la première espèce; 1 équation ci-dessus se simplifie donc ainsi

Fig. 109.

Mais en vertu du cas a), M par conséquent

du carré donné.

203. Problème XL VII. — Dans chaque coté d'tm 'polygone donné de n côtés , y n point est pris arbitrairement ; en nnissant les point produits, dans V ordre circidaire, un second polygone de n côtés prend naissance^ qui, du polygone donné, découpe n triangles. Dans chacun de ces triangles, est choisi de nouveau un point.

Trouver Vaire moyenne du polygone de n côtés formé par V union des derniers points.

Solution. — Soit ^^Ci)i.'(fig. 109) le polygone donné, PQBST le polygone premièrement inscrit. On prend à volonté dans les triangles ATP, BPQ, CQR, DBS, EST les points U, F, W, X, F, dans leur ordre; conformément à la proposition du n<» 199, lorsque PQBST DEMEURE FIXE, lo polygouo ^', S^ S^ Si ^\, qui est formé par la jonction des centres de gravité des triangles dénommés, représente la surface moyenne de U V WX Y, A présent; les points P, Ç>, B, <S, T peuvent s envisager

comme variables aii>si r{ pu mi» K m» nt le point P seul dans ^5; alors, les points ^',. >, vaiient siniultanéniont; du polygone S, ... iS», le quadrilatcri' N^ S, ^'^ *S\ est donc variable et atteint, comme actuellement ce doit être montré, sa surface moyenne lorsque P coïncide avec le milieu F de A B.

Les centres de gravité *S,, S^ se meuvent, pendant la mutation de P, sur des droites parallèles k AB\ les chemins qu'ils parcHiiiciit se trouvent facilt'inciil. Si /' t()iii})e en ^ ou tombe inliniment proche de ^1, le centre de gravité du triangle A FI'

se trouve en 1 (do manière que A\ =^ -- AT), celui du

triangle BFQ en 2 (centre de gravité deABQ). En échange, si le point P vient en B, le centre de gravité du triangle APT se trouve en / (centre de gravité de ABT), celui du

triangle BPQ en // (de manière que Bll ==- „- BQ). Les

centres de graviu* >,, >, >r iii< iivint donc le long de l'étendue 1 /, 2 //, respectivement, et leurs positions sont réparties uniformément sur cette étendue comme celles de Psur AB.

Il en résulte immédiatement que la suiface moyenne du triangle -S's-S'iSj est représentée par le triangle 6^5 ^", /S'., dans lequel S\ est le milieu do 1 7; pour cette position de 6',, P tombe en F.

Aussi le triangle N, S^ S, atteint sa valeur moyenne, lorsque <S',, Si coïncident avec les milieux 8',, S\ de 1 /, de 2 //, car j S, SiS, = JS, L\S, — JS, U,Si — U, S, Si U^,

et tous les termes du second membre prennent simultanément leur valeur moyenne respective lorsque <S,, S^ tombent en S'i, S\.

Par la même voie, il peut être montré que le polygone S,... 83, pour toutes les positions des points P, Q, P, 5, Tsuv les côtés correspondants du polygone donné, parvient à sa surface moyenne lorsque ces points coïncident avec les milieux F, G, //, J, K des côtés.

Avec la prise en considération du n** 191, se réalise, par cela, le fait remarquable que les surfaces des polygones PQHST et V ]' HA ) atteignent simultanément leur valeur moyeiine.

Premier exemple. — (fig. 110) de surface J; M

La figure donnée est un triangle

KiK IK».

Deuxième exemple. — La figure donnée est un quadrilatère (fig. 111), dont la surface est J; on a

Troisième exemple. — La figure donnée est un polygone régulier de n côtés (fig, 112) dont le côté est a et dont l'aire est J; on obtient ,, i^L^Yj-

c omme >S', S»= a ^ a sin* a, est

par conséquent, enfin.

FiK. 112.