Problème VIII. — Arec quelle proba/jiiité trois lon

gueurs quelconques^ prises cependant sous une limite commune, peuvent-elles fonner un iriangle?

Première solution. — Soit a la limite commune des trois longueurs. On se la représente divisée en n parties égales; on désigne la grandeur d'une partie par Ja et on suppose

(*) Pour cette question posée par E. Lemoine, comparer à la dissertation de L. IjALannë dans le Journal de Liourille, 1879, p. 107 et pag. suiv., puis à la solution de E. Lemuinb môme, dans le Bull, de la Soc. Mathém. de France, t. I, p. 39. — Comparer aussi au problème du n" 120.

que les trois longueurs /•, //, z prises sont des imiltiples de Ja; puis on a len coiHlitioiis

( z = i . ^a ^ a, ou, à raison de a == n . //</,

2) ^ ^ ;/, 't ^ ii, C ^ n.

La question peut alors être exprimée sous la forme suivante :

7^-o/s ,i<>nll>rr.< > lifit ' '. /"//>■ /ro/.s' y^/(/.s- jilfifs 'jUf II. X'////

/^/■/.'^ a rliit 1(1 1 II nii lit ; <,nu"i,i, iji-iiinlv rsf la piofminl iti jinur '/i('/f>: f>ins.-<i /if ri'i>ri'si iift't' <its Honihrrs (h iursurts <irs côtis il' un f .

a) isi les répétitions sont admises, le nombre des groupes

possibles des nombres est — ^ h la probabilité

demandée, lorsque par i/„ le nombre des groupes favorables est désigné, est

Pour découvrir m„, on étend la limite jusqu'à w -|- 1; les combinaisons favorables à introduire nouvellement, au nombre de Ju„^ renfermeront toutes le nouveau nombre m + 1. Si l'on place celui-ci à la tête, ainsi Tambe encore restant peut se commencer par n -f 1 et se terminer par tous les nombres de n -f 1 jusqu'à 1, ou se commencer par n et se terminer par tous les nombres de n jusqu'à 2; ... enfin, lors de n paire, se

commencer et se terminer par — ; lors de n impaire, se com-

w + 1. . . w-fl n — 1„

mencer par — ^ — et se termmer par — ^ — ou — ^ — hn

conséquence, pour une n paire, on a

4 Juu={n-^ 1) -1 (// - 1) I ... -h 1 =- 4" ('^' ^ ^'' "^ ^^' pour une n impaire

h) Jiin - [)i -\ \) \ {n - Ij I ... f 2 = -|- (w* -f 4n + 3).

Les valeurs de m„ forment donc, avec indice pair, une série arithmétique du troisième ordre avec

de sorte que, pour une n paire, on obtient

4w» H- 18wM-20w b) Un = jg ;

de même les valeurs de u„ avec indice impair donnent une progression arithmétique du troisième ordre avec

u, = l, ^/'t/,=6, J'^u, = 9, ^'3w, =4,n par conséquent pour une 7i impaire il vient : in^ + 18w2 + 20w 4- 6

7) l/n = Jg

Par insertion de ces expressions dans l'équation 3), se livre pour un(î n paire,

8) Pn =

8w (n 4- 1) (n -f 2) 4 (w + Ij

pour une w impaire,

4n^ + 18m^ + 20n 4- 6 (2yg + 1) (^ + 3) ^^ ^" 8« (n + 1) (^* + 2) ~ 4w (w 4 2)

Les expressions 6) et 7) se laissent produire sous la forme indivise

puis s'écrit, pour une n quelconque,

^^ Su {n -I- 1) (n 4- 2)

P) Les répétitions ne sont-elles pas admises? -^ ~- — —

est la quantité des groupes possibles des nombres; si le nombre des groupes favorables est désigné par r„ on a

I») J'Ufi^JUfi 4- ^i«, -« 1 -[- 2= 3, Jut^Jit^-\-Jui = 44-6= 10,

J'u^ ^ Ju^-\- Jufi — etc..

(«) J'm, == Jm,-}- jM4--2-f4-=6, J'mj-- ^«5 f Ji44 = 6-f-9 = 15.

J' l/g — ^ «5 -f ^ M, a- etc..

Klargit-on, en vue de la détermination de Vh, la limite jusqu'à w -|- 1? Tous les groupes favorables à introduire nouvellement contiendront le nombre n -f 1, qui placé à la tête peut être combiné avec les ambes suivants : n et n — 1 , w — 2, ... 2, n — 1 , n — 2,n — 3,...3, w — 2 ;, n — 3, n — 4, ... 4,

donc avec n paire :

11) Jv, =(n-2) + (n + 4)-f ...-f 2==-^(n«-2n), avec n impaire :

Les valeurs de v», avec indices pairs, forment conséquemment une progression arithmétique du troisième ordre avec

fo = 0, J'v,==0, ^'«1^0 = 1, ^'^t?o = 4,0)

d'où

,^, 4w3 — 18««4-20« Id) t7« = jg ;

de même les r«, avec indices impairs, se tiennent en une progression arithmétique du troisième ordre avec

r, = 0, J'v, = 0, J"'v, = 3, J'^v, = 4, H d'où

4n^ — 18n^ + 20/1—6 Avec ces expressions l'équation 10) donne pour une n paire

4w^ — 18n« + 20n ^ 2n — 5 8w (w — 1) (w — 2) Mn — 1)' pour une n impaire

in' — 18m* + 20w — 6 (2n - 1) (n - 3) 8n (n — 1) (n — 2) 4w (« — 2)

Avec ces e:

)ur une 16) p.

[i) Jfr^ = Jro -[-//r| = 0 -f 0 = 0, //r, = ^r, -f ^p, = 0 -|- 1 = 1,

y^i = Jr^ -|- ^H = etc..

(«) ^r, = Jr, 4- Jr, = 0 + 0 = 0, ^p, = ^r, + Jr^ = 1 -f 2 = 3,

/fr» = ^r, + Jrg = etc..

Par réunion se livrent pour une n quelconque 4^3 — 18n^ + 20n — 3 + 3 (— \)„

Le passage au problème originaire a lieu maintenant par ce que l'on fait devenir les parties Aa infiniment petites, donc leur nombre n infiniment grand. Par chacune des quatre formules 8), 9), 15), 16) se donne, par ce moyen, la même

valeur pour la probabilité demandée, savoir '- p==-n-'

Remarque. — Dans le cas a), aussi bien que dans le cas /9), sous la supposition d'une n paire, les trois valeurs se suivant l'une l'autre

forment une progression arithmétique, dans le premier cas

avec la raison -j-, — , .,, . — -r—^i dans le second avec la raison 4 (w + 1) (n -f 3)

Deuxième solution. — L'étendue AB (fig. 5) représente la

limite commune donnée; AX, AY, AZ sont les trois longueurs

Fig. 8. quelconques, se formant par prise

- r -I Z „ arbitraire des points X, Y, Z dans

AB. Comme il est clair tout d'abord que la probabilité en question ne dépendra pas de la grandeur AB, il est permis d'envisager la plus grande des trois longueurs AZ comme la limite. Pose-t-on ensuite AX=x, AY = y^ AZ = a? On a l'unique condition

x-\-yy>a.

Mais à chaque couple des valeurs x, y, qui remplit cette condition, se rapporte une autre couple a — x, a — y — qu'on imagine mesurée cependant de Z au lieu de -4 — qui ne la remplit pas ; dès lors on a

(a — ar)4-(flr — .v)<^;

c'est-à-dire à chaque cas favorable se rapporte un cas défavorable, ou la probabilité demandée est

15. — Problème IX. — Trouver la prohabilité pour qu'avec trois longueurs choisies arbitrairement dans les limites données a et h, un triangle puisse être formé.

Solution. — Désignons par x la plus petite, par y la moyenne, par z la plus grande des trois longueurs ; ainsi, les grandeurs dénommées ont à satisfaire aux conditions suivantes :

On conçoit x, y, z comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace. Les cinq plans représentés par les relations 1) à 5), lorsque dans celles-ci le signe inférieur est pris, limitent un pentaèdre ou un tétraèdre, et tous les points de ce solide possèdent des coordonnées qui satisfont aux conditions dites. La contenance sextuplée du polyèdre — en considération des six permutations des lettres x^ y^ z — donne donc le nombre des cas favorables pendant que (h — af est le nombre des cas possibles.

Les équations 1) à 4) conduisent à un tétraèdre ABCD qui dans la fig. 6 (pag. 20) est représenté par ses projections A'B'C'D', A"B"C"iy\ A'B'C'D"' sur les trois plans coordonnés. Relativement au cinquième plan 5) dont les traces dans les plans YZ, ZX partagent en deux les angles YOZ, ZOX, deux cas peuvent arriver.