Est i > 2a, comme dans la figure? Alors le plan
découpe du tétraèdre A B CD un tétraèdre plus petit EFCG et produit ainsi un pentaèdre.
2. Est è<2a? Le plan 5) passe en dehors du tétraèdre ABCD, sans le couper, et tous les points de celui-ci satisfont aux conditions 1) à 5).
4ff' F
Les dimensions requises pour l'évaluation de la capacité sont à prendre aisément dans la représentation.
Le tétraèdre yli^ CD a pour base le trisnigle ABC =-^(b—aY
et pour hauteur CD=b — a; son volume est donc -rr- (b — of.
Le tétraèdre EFCG a pour surface de base le triangle
ËFC=-j^ (b—2ay et pour hauteur CG=b—2a; son volume
est donc -r*; (^ ~" 2«)^.
la
La probabilité demandée est donc pour ^ > 2«,
pour ô < 2 a,
-(fe-:)"-
le dernier résultat est confirmé par la simple réflexion (').
H KM ARQUE. — Le problème précédent VIII se donne comme cas particulier du présent problème, lorsqu'on fait dispai-aitre la limite a. En eflFet, la formule 1), pour a=0, de
nouveau donne p== -^.
16. Problème X. — Une droite donnée est dirisée arbitrairement en trois parties; trou ter la probabilité pour (fuarec 1rs sections un triangle acutangle puisse être formé.
Solution. — En d'autres mots, le problème s'énonce :
Dans une droite donnée deux points sont pris à volonté; combien grande est la probabilité pour que le carré de chacune des trois sections soit plus petit que la somme des carrés des deux autres?
Soit P la probabilité demandée, Q la probabilité pour que le carré de la section moyenne soit plus grande que la somme des carrés des deux autres, ainsi
Soient ensuite X Y les deux points choisis à volonté dans la droite AB = a; x^y leurs distances de A.
Deux cas peuvent arriver relativement à la situation réciproque de Xet de Y: X est plus éloigné de A que F; y, x — y, a — X sont les longueurs des trois sections; ou X gît plus près de A que F; les sections sont x,y — x, a — y.
(■) Comparer à la dissertation de L. Lâlanne: ** De Temploi de la Géométrie pour résoudre certaines questions de moyennes et de probabilités , dans le journal de Liouville 1879, page 107 et pages suivantes.
Si maintenant 7 désigne la probabilité pour que dans le premiercasdes cas indiqués, s'excluant mutuellement, la condition
2) (X - yy > !/' + (a - xf
soit remplie, cette probabilité est valable aussi pour la condition analogue dans le second cas; ou Q = 2q; par conséquent
Mais de la condition marquée plus haut, résulte
a* y doit donc être renfermé entre les limites 0 et a ^ — ou à
l'mtérieur d'un intervalle de l'étendue a jz — » et comme
toutes les valeurs de y sont également possibles entre 0 et a, ainsi
est la probabilité pour que la condition 1) soit remplie.
dx Multiplie-t-on cette probabilité par » la probabilité
pour que X possède l'éloignement a; de ^ ? On obtient la probabilité avec laquelle la relation 1) est remplie lors de la valeur particulière x.
Pour obtenir 7, on aurait donc à intégrer l'expression
(^ a \ dx
pour le domaine complet des valeurs de x, cela est de 0 à a. Maintenant, il est à prendre en considération
que l'expression 1 ^— qui représente une probabilité,
ùx
devient négative pour des valeurs de x entre 0 et-^; cette valeur négative est à estimer cependant égale à 0, parce que, lorsqu'on a a: < -^» la somme des deux premières sections
(>/: r >/) est plus petite que la troisième {n — x), par consé- <iu« lit ^iiiiéralement aucun triangle n'est possible. Eli se basant sur cotte remarque on a
-JV2x) a 2 2'-^
et, de par Téquation 3), la probabilité cherchée 5) P = Sl,2 — 2.
17. Remarque. — Le cas observé dans la solution du problème ci-dessus, la fonction qui exprime une probabilité dépendante d'une ou de plusieurs variables délaissant le domaine des valeurs des fractions positives propres, se répète fréquemment dans le traitement analytique de questions analogues. Le * devenir négatif » de la fonction montre que l'événement en question avec la valeur attribuée aux variables ne peut pas se réaliser, tandis qu'une valeur de la fonction, franchissant l'unité positive indique que l'événement DOIT SE RÉALISER nécessairement.
Pour de tels cas, Hugh M'Coll, dans le XV*^ tome de
1'" Educational Times „ page 20 et pages suivantes, a donné
un procédé dont les traits principaux doivent être développés
ici brièvement, pour pouvoir l'appliquer plus tard à quelques
questions.
l. La valeur limite de laquelle la somme ^^ ^{x).Jx s'ap-
proche, avec Jx diminuant infiniment, par conséquent avec le nombre de termes augmentant infiniment, supposé que pour des valeurs négatives de (f (x), 0 est posé, pour des valeurs de (p (x) positives, dépassant l'unité, l'unité est posée, doit être
désignée par le symbole f <p (x). px.
De cette définition résultent immédiatement les formules suivantes.
Entre les limites a et i, a-t-on constamment y (ic)< 0? Dans ce cas,
f9>{x)'Pr ^ ro,dx=^o.
La fonction y (x) reste-t-elle dans le domaine désigné des valeurs une fraction propre? On a
Ty (x) . px = ffp [x) . djé.
Le signe px peut donc être remplacé par dx,
La fonction (f (x), entre les limites d'intégration, est-elle constamment positive et plus grande que 1? On a b b
Ç<f (x) . px = Cl , dx = b — a.
Si plusieurs des cas cités se présentent ensemble l'intervalle d'intégration est à décomposer correspondamment.
