ÉQUATIONS DES DEGRÉS SUPÉRISCRS
i heure plus 12 minntesy la troisième 3 heares, la quatrième 6 heures, de plus que la première pour le remplir. Combien de litres d'eau chacune des fontaines donne-t-elle en i heure ?
Soit X le temps que met à remplir le bassin la première fontaine coulant seule; la deuxième mettra
ar -|- 1 ^f la troisième j;-|-3) la quatrième a;-4"6 heures. Chacune d*elles donnera en 1 heure
et, coulant ensemble, elles mettront à remplir le bassin
X i" , M """x4-3 « jr + 6
on aura donc l'équation
Effectuant les calculs et réduisant^ on trouve 5a?»+Ha;*— 162^— 468^ — 216 = 0,
équation qui est satisfaite par x = 6.
D'où l'on conclut que la première fontaine donne
— = 60 litres d'eau par heure, la deuxième ^^1= 50, la troisième -j- =40, la quatrième enfin -râ=^ 30.
370 soLintoirs rr résultats.
PftOBiJbn. — Un capitaliste a pris 30 actions de 4000 francs chacune dans nne entreprise qai a réussi an peint que, chaque année, il prend sept actions, dont il laisse les Intérêts s'aecunnler avec le capital et les intérêts précédents* Au bout de 5 années, dans lesquelles les dividendes se sont maintenus à la même hauteur, il rethre pour solde total une «odmm de S40ttl francs. A qui intérêt A-uil placé $on argent ?
Soient en général a le capital primitif laissé pendant n années dans T^ntreprise, b la somme additionnelle de chaque anqée^ S Tintérét de 1 fraQc par an.
Le capital a produira, en n années, le capital total
Les sommes additionnelles by laissées pendant n — 1 , /z— 2, /i— 3....2, 1 années, produisent un capital total exprimé par
et si Ton désigne par S le capital génévil promsant du capital primitif a et des sommes additionnelles b^ on aura à résoudre, par rapport à Xp l'équation
qui peut se mettre sous la forme
{ax+b)(^i+xy—{S'\'b)x—b=0.
Les données du problème sont
ac=30000, i=7000, /i=5, S =±84051.
Substituant ces valeurs et effectuant les calculs, on
ÉQUATTOirS DES DEGRES SUPiSrIEITRS. 371
tvouvmi una équfttiofi du sixième degré, qqi se réduit au cinquième :
30000 a? + 1 57000 0:*+ 335000x» + 370000^ 4-330000JD — 36051 r» 0.
Cette équation, traitée par les méthodes ordinaires, donne pour racine ^=0,1.
L'entrepris 4 donné 1 paup 4 00.
PAOBLiMB* — Un constracteur a employé pcmr faire on ouvrage, un cerfs^ nombre ë'ofiyriers 3 fois qioindre que le nombre de centimes contenu dans le prix de la journée de chacun, et ces ouvriers ont travaillé 35 joufs de moins aue le nombre de francs contenu dans le prix d'une journée de tous les ouvriers ensemble.
Un autre constructeur, pour faire le même ouvrage, ayant employé iO oi^vrier^ de moins , qui ont travaillé iO jours de plus, et qu'il a payés à raison de SO centimes de plus par jour pour cha« cun, a dépensé i 000 francs de plus.
Ob demande le nombre d'ouvriers employé par le premier constructeur, le prix de la journée d'ouvrier et le nombre de jours de travail.
Il est évident, d'après Ténoncé , que tous les nombres demaodés seraient facilement déterminés si Ton connaissait le prix de la journée de chaque ouvrier. Soit donc x le prix de la journée ; le notnbre d'ouvriers
sera exprimé par — r— > et le prix d'une journée de tpus les oHVfKr^ çnsemblp par — j— . Le pQfpbrç de jours de travail sera donc — ^ — 35. Enfin la dépense totale sera x — t"( — ô^ ^^V
Le second constructeur paye pour !a journée de ses ouvriers /»-|-0)50; il en emploie -^ — 10|Pti|sont
372 soLUTioirs et résultats.
— ^ 35] -j- 10* ^ dépense totale sera
donc exprimëe par
(. + 0,50)(î^-10)(î^'25)î et par conséquent l'équation du problème sera
Eiïectuant les calculs indiqués et réduisant, on trouve
Chassant les dénominateurs et faisant dans Téquation résultante -^ = ^ pour débarrasser le premier terme de son coefficient, on obtient, tout calcul fait,
yJ-|-<57^ — 300r — 31500=0.
Appliquant à cette équation la méthode des racines commensurables , on trouve qu'elle est satisfaite par
y=30; d'où ^=15= 1,50.
Le prix de la journée d'ouvrier est donc de 1,50; d'où l'on voit que le nombre d'ouvriers employé par le premier constructeur est 50 et le nombre de jours de travail 75 — 35 = 40.
Le deuxième constructeur a fait travailler 40 ouvriers pendant 50 jours en leur donnant à chacun 2 francs par jour. . ,
ÉQUATIONS DKS DEGFIKS SUPÉRIEUIIS. 373
PaoBLiiiB. — Dans qael système de numération le nombre 48569 est-il représenté par [24435]?
Soit X la base de ce système de numération ^ on aura pour équation de condition
Appliquant à cette équation la méthode des racines commensurableSy on trouvera pour raciqe a; = 12.
Il est facile en effet de vérifier que le nombre 48569 s'écrit dans le système duodécimal [24135].
Si l'on avait un nombre écrit dans un système quelconque donné, on commencerait par convertir le nombre donné dans le système décimal, et la question reviendrait à la précédente.
Paoblâms. — Dans quel système de numération le nombre représenté par [142365] dans le système septénaire est-il représenté par [43963)?
Le nombre septénaire [142365] est exprimé par 27291 dans le système décimal; et la question revient à celle-ci : Dans quel système de numération le nombre 27291 est-il exprimé par [13963]?
Réponse : dans le système duodécimal.
PaoBLÈME. — Une personne avait parié d'amener avec des dés un certain nombre en 40 coups. Pour chaque coup de surplus, elle s'engageait de payer un certain nombre de fois la somme du coup précédent. I^ nombre ayant été amené au 4 7* coup de dés, elle a payé pour le 46* coup 42 fr. 45 c, et elle a perdu en tout 18 fr. 20 c. Quelles étaient les conditions du pari?
On propose de déterminer le premier terme et la
raison d'une progression par quotient dont on connaît le nombre de termes, 6; le dernier termei 12,15; et la somme de tous les termes, 18,20.
Soieiit X le pretniet* terme , y la raison de la progression, on aura, d'après le^ forkhliles doilllU^) les équations
Substituant dans la première la valeur de (v tirée de la deuxième^ on trouve
équation dans laquelle on deVffl f ëbîpla(3el* / et J* pttr leurs valeurs /= 12,15, j = 18^20. Ce qui donne, toute réduction PâitcF,
On en tire facilement /= 3 et ^ = Ô,Ô5.
Ainsi les conditions du pari étaient que, pour le premier coup de dés en sus des 1 coups, le parieur donnerait 5 centimes, et pour le deuxième coup 1 5 centimes, et ainsi de suite , toujours en triplant.
1179. i^lehombfe.
Éq. 1=1 944- Rép. 18i
^CATIONS DES DIGUts SOPAbIEOBS. 375
1 1 1 80. X le nombre.
Éq. ^ = 4608.
Rëp. 48.
1181* d:lcooinbre<
Éq. ,-, —42000=167.
Rép. 1 1 \.
1182. X le nombre de paniers.
Éq. 6a^=: 16464.
Rép. 14 paniers, 588 oranges.
Il 83* ^ le nombre de négociants!
Éq. 1000:i:*f
ïôîT
4 1 84. X le taux de l'intérêt. ,
Éq. (x+ 100)*= 11 57625.
Rép. 5 pour 100.
1 1 85. a;, ^1 z les trois nombres.
Éq. «*/-«: 14 3, /«»588, i'x»576.
Rép. 4, 7, 1 2.
1186. x^y^ z les trois nombres.
Éq. a?jr'=.a,y^zz=.b, ^x=.c, R « 4*/^ .7*^ //^
R p- y/ir, Vit, V/-5Î.
\iQ7. Xfjr, z^ u les quatre nombres.
Éq. a:^y = a,yz=bf :^u=^c^ ifxs^d*.
On trouverait des valeurs analogues pour une plus grande quantité de nombres demandés.
1188. X la quantité de litres tirés chaque fois.
Rép. 27 litres.
1189. xxku des nombres.
Éq. (2a? + 4)(^+4a?)=i386.
Rép. 7 et 11.
1190. X le nombre de livres que pèse la pièce d'ar-
genterie.
Éq. (a; + 8)a;«=2880sou8.
Rép. 12 livres.
1191. a; le nombre d'ofïiciers.
Éq. 10jc*+160:b»= 15360.
Rép. 8.
1 1 92. X la dépense d'avant-bier.
Éq. «•+4a*— 67« + 110=0.
Rép. J7=2, j:=5, d'oùa;-|-4=6 ou 9.
e nombre de marchands.
Éq. '-Îi;fct2 = 288.
Rép. 12.
* Le prodait des quatre équations donne xfstt=r ^abed»
iQUlTIONS DES DEGRÉS SDPJ^IEURS. 377
1 194. X le nombre de marchands.
Rép. 7, 8 ou 10.
i 195. X la somme de À.
Éq. x(x+1 )(x+2)(a;+3)=(x+3)*+1 1 68.
Rép. Â 5, B 6, C 7, D 8 francs.
1 196. a; le prix de la journée d'ouvrier.
Éq. 3^ (3a* — 1 00)=3000 fr.=60000 sous;
d'où j:=10.
Rép. 30 journaliers, 200 jours.
1197. ^ la plus grande partie.
Rép. 35, 28.
1198. x\à temps demandé.
En lj.-i I \ I ! ?5
Rép. 4 heures.
1 199. La valeur du premier nombre sera donnée par l'équation finale
Cette équation une fois ré«M>lue, les valeurs des deux autres nombres se détermineront sans difficulté.
1 200. Le produit p des nombres cherchés dépend de la résolution de l'équation
378 SOLUTIONS ET R^ftULTATS.
1201 • Le produit/; des deux nombres dépesd ûm réquation
En général y la combinaison des équations
conduit à une équation en p du degré n.
1202. !^i l'oti ptend pour inconnus la différence jr des deux nombres et leur produit t^ ces quantités seront détermttiées pàtr le& équatiotis
ny^ — 2mr^^ 2af — nb i±± 0, nz=a — mjr.
Connaissant la difTéreuce et le produit, on déterminera sans difficulté les deux nombres.
1205. Équation finale
a^ — oj^-^bx — c=0| d'après la composition des équations.
1204. Le produit des trois nombres multipliés entre eux sera par CoMéquent
61 réquatîxtai «Mlemibnate
ÈQVÂTiemê BEê DfiCRÛ SUPiftlEURS. 379
1205. La somme des produits deuiL à deux sera
le produit des trois nombres
et réquation finale
1206* En prenant pôilr iuconhue la somme s des deux nombres, cette somme sera donnée par l'équation
et s étant conûUê, les deUx nôdibres seront déterminés par i'équaUon
1207. La somme des trois nombres sera
et réquation
a? zf, a? \/2a^Z -{- aœ — cssô,
1208. La somme sera et le produit
380 SOLUTIOHS ET R^miTATS.
par conséquent Téquation
1209. La somme le produit
et rëquation
a:»ZF:a;*V2a+* + ^^ — 5[±aV2a+* — cj=0.
12 tO* Soit^ le terme moyen de la proportion^ la ▼aleur de cette inconnue sera donnée par Féquation
3/—aay+ià—b=z0.
Désignant une des racines de cette équation par w^ les valeurs des extrêmes seront données par Téquation
J^ — {a — <v)a;-|-ii^=0.
1211. L'équation en jr devient *
/ 441^4- 2430=0, dont les racines sont
En prenant
ii^s=6, on a a;*— i5jp+36=0; d'où j?=3, ^=12,
et la proportion est-fr3 ; 6 : 12.
lÎQUATIONS DES DEGRIÎS SUPÉRIEURS. 381
1212. En désignant par j la raison de la progression , on aura d'abord pour la déterminer Tëquation
by^ — ay^ — ay — ô=0,
et le premier terme sera
1213. On prendra pour inconnue </la différence des moyens; et si Ton fait é^=/, on aura Féquation ^+(i5a«2*)^+(l5a*+4a«%+rt*(a^— 2*)=0.
/ et par conséquent d étant déterminés^ la raison sera
et le premier terme
382 SOLUTIONS ET R^SUî.TATS.
1214* X le nombre des poipts des trois cartes. Le nombre {ieA partes superposées^ 45 —a;.
424$. ^ 1^ qonhrç de» ppipt» d^ F^mîàr^ carte».
Rëp. /i(j-|-1)-|-r — a.
1216. x\e nombre de mètres de la pièce.
Rèp. 440 mètres.
1217. X ce que B a dépense.
Éq. 400 — 2x=3(48 — a;).
Rèp. Â, 88 francs; B, 44 francs.
1218. a; le prix de la reliure.
Ij^ 4,20— X 5,70— X
Rép. 1,80.
1219. Le problème revient à trouver le dernier terme d'une progression par différence dont on con-
naît la somme et le nombre des termes, et le premier terme.
Rép. 13 fr. 50 c.^ et la raison de la progression, 50 c.
1220. Trouver le premier terme d'une progression par difTërence^ connaissant la somme et le nombre des termes y et la raison.
Rëp. 20 fr.
1221. le temps demande.
Rëp. 30 minutes.
1222. X le nombre des pommes^ / des poires.
Rép. 48 pommes, 30 poires.
1223. X le nombre.
Rëp. 9.
1224. X le premier terme de la progrftélon par difTéreDce, / la raison de cette rnéme progression.
On pourra donc écrire les deux progressions, et Ton trouvera, en faisant la somme de tous les termes, d'après l'ënoncé,
14jî-4-18/ = 96.
Dans la progression par quotient, le carré du moyen
étant égal au produit des deux extrêmes, on aura la seconde équation
12aTf(r + 2r)=[3(x+/)f.
Rép. T 3. 6. 9 par différence, -rr6 : 18 : 54 par quotient.
122tf • ^^yy Zj ce que possèdent A, B, C; /? le nombre de pièces de 5 francs que coûte Tobjet.
Éq. a>+^^=p,jr+--±l=p, z+I±f =5p.
Rép. Le prix
= 1 7 pièces de 5 fr., 34 pièces de 5 fr., etc. A= 5 10 etc.
B = 11 22 etc.
C = 13 26 etc.
1226. X, jr, ^1 «, ^ ce que possèdent A, B, C, D, E ; /? le nombre de pièces de 5 francs nécessaire pour payer la dépense.
Éq. x+d:f±^=^, r+'-±^±^=p,
Rëp. Somme dépensée,
879 pièces de 5 fr., 1 758 pièces de 5 fîr., etc.
A, 319 638 etc.
B, 459 918 etc.
C, 543 1086 etc.
D, 599 H98 etc.
E, 639 1278 etc.
PROBLàMES DIVERS. 385
1227. ^ le nombre de personnes en partant.
Éq. (0.-3) (^+19)= 342.
Rëp. 9.
i 228. a: le prix qu'on l'avait payé.
Éq. (570— ^)=4(j:— 420).
Rép. 450 francs.
1229. Soient A Therbe dans 1 mètre carré de la prairie, x Therbe qui a pu croître pendant 1 semaine dans le même espace : en 7 semaines les 8 chevaux ont donc mangé 400 A -|- 2800 a?, et par conséquent 1 cheval a mangé par semaine
Dans les mêmes circonstances, on trouvera par la deuxième condition, pour la nourriture d'un cheval par semaine,
S00/i-t,4000jr
d ou Ton tire j; = — ;
et pour la nourriture d'un cheval par semaine
et pendant 1 2 semaines
7gOA
On calculera facilement la quantité de fourrage
386 soLimom et b^ult^ts.
d'une piwrie de 600 mètres, en tenant compte de l*herbe qui croit pendant 1 2 semaines, et Ton en conclura le nombre de ch^au]( demaodé* Rép. 8
1230. X ce qui revient à la fille.
Éq. j:4-3^4-6â?es46000 ftapes.
Rép. La mère, 10000 francs; 30000 francs au fils ; 5000 francs à la fille*
1251. û9 le nombre de jours demandé.
Éq.|(ji?4.1) = 12(a?~5).
Rép. Le huitième jour.
1232. X le nombre de jouiv à oompter du départ
du premier voyageur
Eq. ^(a-\'dx) = b{x — n)y
