ÉQUATIONS DES DEGRÉS SUPÉRIEURS
autant de centimes qu'il y a de paniers : combien y
a-t-il de paniers et d'oranges?
1183. Quelques négociants ont fait une société, pour laquelle chacun a mis 1 000 fois autant de francs qu'ils sont d'associés ; cette affaire leur ayant rapporté 2560 francs, il se trouve qu'ils ont gagné précisément la moitié autant pour 1 00 qu'ils sont d'associés : quel est ce nombre ?
1 1 84. Un capital de 1 000 francs^ placé à intérêts composés, s'est élevé, au bout de 3 ans , à 1 1 576 fr. 25 c.^ capital et intérêts réunis : à quel taux a-t-il été placé ?
1185. Trouver trois nombres tels^ qu'en multipliant le carré du premier par le deuxième^ le résultat soit 1 1 2 ; le carré du deuxième par le troisième, 588 ; le carré du troisième par le premier, 576.
1 1 86. En général, a, b^ c représentant les produits successifs du carré de chacun des 3 nombres par le suivant, exprimer ces 3 nombres.
1187. Avec les mêmes conditions, si a, 6, c, d représentent les produits indiqués dans l'énoncé du problème précédent, quelle est la valeur de chacun des 4 nombres demandés?
1188. On a tiré d^un tonneau qui contient 81 litres de vin, une certaine quantité qu'on remplace par de l'eau ; on en tire encore la même quantité de liquide k fois de suite, en ayant soin de remplacer à chaque fois par de l'eau le liquide qu'on a retiré du tonneau ; après ces quatre opérations il ne reste plus que \ 6 li-
446 noBiÈMSs d'alg^biub.
bres de vin pur dan» le tonneau : oomJUen a-t-on retiré de litres chaque fois?
41ft9« TrouTer deui nombres dont h dîffilérance est 4, et tels que leur produit; multiplié par leur sonune diMuial386.
ii90. Une personne achète pour 144 francs une pièce d^argenterie qui pèse autant de livres qu^elle contient d'onces d'argent fin à la livre ; elle Fa payée 8 sous de pltts par cnee d'argent fin que la pièce ne Im aurait ooûtë de sous si elle l'avait payée i aou pur Kvre '. quel est ie poids de la pièce d'argenterie ?
1191. Des officiers se mettent en marche avec un détachement, cavalerie et infanterie; diaque officier a sous ses ordres 3 fois autant de cavaliers et 7 fois Autant de fantassins qu'il y a d'officiers ; chaque cavalier a 2 cartouches et chaque fantassin 22 cartoudies de plus qu'il n'y a d'officiers ; les cavaliers et les fantassins ont en tout i 5 360 cartouches : quel est le nombre d'officiers?
1192. On demandait à quelqu'un combien il avait dépensé pendant la journécp il répondit : J'ai dépensé aujourd'hui 4 francs de plus, et hier 2 fois autant qu'avant-hier; et si, après avoir multiplié entre elles toutes les sommes que j'ai dépensées dans ces 3 jours, f ajoutais 756 au produit, j'obtiendrais un nombre 1 34 fois aussi grand que ce que j^ai dépensé dans la journée.
Combien avait-il dépensé?
1 1 93* Quelques marcluinds ont mis une certaine
BQUATwm «9 Mtfiii ivriRiBuits. 147
90fniiit «0 «ommui chM#ii 4'«iii » «•)■ 10 fins aujMliii fiapc»^ «t il» figomt 8 pour IM d^ piwi^'ils
co]|l))ieo Mù&OriU f
|194. Des marchands ont r^uni k up cfjHtal de 8240 francs une certaine somme, pour laqu^U^ cl^cun a mis 40 fois autant de francs, et le gain est d'aumt pour 100 qv'ïk 9Qnt â^moiàén m ptrUfe» chacun reçoit mtmt d^bf»iO ^0 qii'ik iwt d'iUÊOfékf til m reste encore 224 kêWê à p«rt»SHP : whirn 7 a-t-il d'owociés?
1195. Quatre personnes, Â, B, C, D, ont chacune une pertaioe Mnmfii 9« i fisuM db plus ^pe A; C, I j^c de plus que B| «t D# 4 fouiede plus que G;
si Ton multiplie entre elles les quatre sqmnm, 00 obtient 1 1 68 francs de plus que le cube de la somme de D € «onbien chacune a-t-eUe ?
1196. Un entrepreneur lait imtâiUer 8 Cois eiaat de Journaliers que chacun reçoit de sous par jour ; ils traTaiilent ensemMe 400 jours de moins qu'il n'y a de sous dans le prix total des journées, et ils reçoivent ensemble 3000 francs : combien 7 a-t-il d'ouvriers ? de jours ont-ils traTaiflé?
4197. Partager le nomhre 63 en deux parties telles, que, si f on multiplie par le plus grand nombre le quotient du grand parle plus petit, le produit, augmenté de 20 \f soit un cube parfait, dont la racine, augmentée d'une upifé^ i^gale le septièipe ifai plue |;eand nombre : quelle» lOBt CM partie» ?
148 PROBLEMES d'aLGÈBBS.
1198. Quatre fontaines^ coulant ensemble , remplissent un bassin en 115 minutes ^; la deuxième
' mettrait 4 heures , la troisième 8 heures et la quatrième 1 2 heures de plus que la première, pour le
' remplir seule : combien de temps faudrait-il à la première fontaine, coulant seule, pour remplir le bassin ?
1 1 99. Déterminer trois nombres par les conditions suivantes : la somme du premier et du deuxième =a, la somme des carrés du deuxième et du troisième =6, et la somme des cubes du premier et du troisième =r.
1200. La somme a de deux nombres et la somme b de leurs sixièmes puissances étant données, trouver ces nombres.
1201. La Si mme a de deux nombres et la somme b de leurs septièmes puissances étant données , déterminer ces deux nombres.
1 202. m fois la différence de deux nombres ajouté à n fois le produit des deux nombres donne une somme a; la différence multipliée par la somme des carrés donne un produit b : trouver ces deux nombres.
1203. La somme de trois nombres=a, la somme de leurs produits deux à deux = 6, et le produit des trois nombres multipliés entre eux = c : trouver ces trois nombres.
1 204. On donne la somme a de trois nombres, la somme b de leurs produits deux à deux, et la somme c
^UITIOHS DBS DEGRÉS SUPÉRIEURS. 149
des six produits qu'on obtient en multipliant chacun d'eux par les carrés des deux autres : trouver les trois nombres.
1205. Si l'on donnait la somme a de trois nombresy la somme b de leurs carrés et la somme c de leurs cubes, comment pourrait-on déterminer ces trois nombres ?
1206* La somme des carrés de deux nombres est ttj la somme de leurs cubes b : quels sont ces nombres?
1 207 . La somme des produits de trois nombres deux à deux = a, la somme de leurs carrés = b^ et le produit des trois nombres = c : trouver l'équation qui doit donner leurs valeurs.
1208. La somme des produits de trois nombres deux à deux=a, la somme des carrés =&, la somme des cubes = c : trouver l'équation finale qui doit donner leurs valeurs.
1209. La somme des produits de trois nombres deux à deux = a, la somme des carrés = by la somme des six produits qu*on obtient en multipliant chacun des nombres par les carrés des deux autres s= c : trouver ces trois nombres.
1210. On a trois nombres en proportion continue, dont la somme est a et la somme des cubes b : trouver ces nombres.
1211. Soient a = 21, 6 = 1971 : résoudre les équations finales.
tf.
f 50 PtiOBiàssÊÉà f/AiOfafiitf.
1212. thrM fftié firopeàAùtt pB^ ^fiMltetif MOh pCfHéë âe (Jttûltê icttti^, tfù toffùM Ift ÛittêfÊMê àeê extrêmes = a, et la somme des moyens = b t ttwntêt les termes de la progression»
îti9ittÊmmiepfo(^mâMpÊrquûû»meoMpoÊ^ àé (faaifè tetiMêf li êomiM ûm àêat OMiyeiMssa^ et la somme des carrés des deux extrêmes s= 6 :dél0rfinner la progression*
FBaUÀOÊÊS DfYSRft. f!H
1214. D'un jeu de piquet de 32 cartes on prend 3 cartes au hasard , et Ton met sur chacune d'elles autant da cartes qu'il est nécessaire pour que le nombre des cartes superposées^ ajoute au nombre dea points de la carte, fasse une somme égale à 15; il reste encore 8 cartes : deviner la somme des points dea 3 cartes tirées.
121 S. En général, soient a le nombre dea cartes d'un jeu, n le nombre de cartes tirées, / la somme dea points de chacune d'elles et du nombre des cartes
superposées, /* le reste des cartes : trouv<>r la somme des points des n premières cartes tirées.
1216* Un marchand achète de l'étofie, qu'il paye à raison de 7 francs les 5 mètres } il la revend 1 6 francs les 1 4 mètres , et il gagne à ce marché 24 francs : a-t-il acheté et revendu?
►{• M»HV]I
1217* Deux voyageurs, A et B, se mettent en route, le premier aveo 1 00 francs, le second avec 48 francs ; À dépense 2 fois autant que B, et pourtant A a encore en arrivant 3 fioia autant qua B : combien diaeun art-îl dépensé ?
1218« Un relieur a vendu deux registres, Ttm de 48 feuilles pour 4 fr. 20 c, l'autre de 78 feuilles pour 5 fr. 70 c; le papier et la reliure sont au même prix pour les deux registres : combien coûte la reliure?
1219. Partager 156 francs entre 16 enfants pauvres^ en proportion de leur âge, et de manière que chacun d'eux ait autant de plus que celui qui vient immédiatement après lui par rang d'âge : le plus jeune ayant reçu 6 francs , combien a dû recevoir le plus âgé?
1220. Payer 2363 francs en 34 payements de manière que chaque payement surpasse de 3 francs celui qui le précède immédiatement : quel est le premier payement ?
1221* Un bassin qui pourrait être rempli par 2 fontaines en 12 minutes est rempli par une seule d'elles en 20 minutes : combien de temps l'autre, coulant seule, mettrait-elle à le remplir?
1222. Quelqu'un a acheté pour 18 sous une certaine quantité de pommes et de poires; pour 1 sou il a eu 4 pommes, et les 5 poires lui reviennent aussi à 1 sou ; il vend la moitié de ses pommes et le tiers de ses poires au même prix qu'elles lui ont coûté, et il en retire 8 sous : combien a-t*il acheté de pommes et de poires?
1223* Trouver un nombre tel, qu'en l'ajoutant successivement aux nombres 1 6, 27 et 45 , les trois sommes résultantes soient en proportion continue par quotient.
1224. On a deux progressions, l'une par différence et l'autre par quotient, composées chacune seulement de 3 termes, et la somme de 6 termes est égale à 96 ; le premier terme de la première progression est le {
PROBLisilCBS DIVERS. 153
du premier terme de la deuxième » le deuxième le ^ et le troisième le ^, chacun, du terme correspoudaut de la deuxième progression : trouver ces deux progrès-* sioDS.
1225. Â, Bj C voudraient faire un achat, mais aucun d'eux en particulier n'a assez d'ai^ent pour le payer ; A aurait besoin de la moitié de l'argent de B et C pour le payer seul, B du tiers de A et C, et C du quart de ce que possèdent  et B ensemble ; on demande ce que possède chacun et le prix de l'achat. Chacun des acheteurs n'a que des pièces de 5 francs.
1226. A^ B, C, D, E ont dépensé ensemble une certaine somme, qu'un seul d'entre eux doit payer. En comptant leur argent en pièces de 5 francs , sans autre monnaie, ils trouvent qu'aucun d'eux ne pourrait la payer qu'en empruntant aux autres, A le quart, B le cinquième^ G le sixième, D le septième, et E le huitième de ce que les autres possèdent ensemble : quelle est la somme dépensée et l'argent de chacun?
1227. Quelques amis^ voulant faire un voyage en société et à frais communs , louent une voiture pour 342 fr . ; 3 d'entre eux étant restés en route , chacun des restants a 1 9 francs de plus à payer : combien étaient-ils en partant?
1228. On a vendu, avec perte, pour 420 francs un objet dont on voulait 570 francs -, si on avait pu le vendre à ce second prix, on aurait gagné 4 fois autant qu'on a perdu en le vendant au premier : combien l'avait- on payé?
f54 PROMLÈUBS D*AIi68BRB.
1 229. Hait e)i«vacf t, qit'cm a laissés paître pendant 7 semaines àsans une prairie de 400 métrés carrés, ont mangé non^^seulemenl l'herbe qni y était, mais encore celle qui a pu croître pendant tout ce temps } dans les mêmes circonstances, 9 chevaux auraient trouvé leur nourriture pendant 8 semaines dans une prairie de 500 métrés : combien de chevaux une prairie de 600 métrés pourrait-elle nourrir pendant 1 2 semaines?
1 250* Un homme en mourant laisse sa femme en* ceinte et une somme de 45000 franca j il ord<Hiiie par son testament que , dans le cas où sa femme accoucherait d'un garçon , celui-ci ait trois fois autant que sa mère, et que, si c'était nne fiUe^ elle n'ait que la moitié de la part de la mère ; la femme accotiche de deux jumeaux, un garçon et une fille : comment faire le partage?
i23i< Deux voyageurs partent d'un même endroit; le premier fait 4 lieue le premier jour, 2 le deuxième^ 3 le troisième, et ainsi de suite; 5 jours après, le deuxième voyageur part à son tour, et suit la même route en faisant 4 2 liettes par jour : dans combien de temps, à compter do moment du départ du premier voyagent*, cm deux voyageurs se rencontreront-* ils?
ft252« Soieat eo général a le nombre de lieues que ùài le premier voyageur le premier jour, d le nmàbre de fieues qu'il fiût chaque jonr de plus que le jour préoédeM, n le nombre de jours de retard du deuxième voyageur, et 6 le nombre de lâeoes qu'il
Pti(MAaas mfmê. 155
fait chàqte Jonr t dans combien de tempe êê rtMon* treroD(-!ls?
12SS. Trouver deux nombres dont lu somme Mit ëgale a leur produit^ et (eld que leur somme, ajoufëe à la somme de leilrs carres^ donne 1 S |.
1254. Un be^er> eomplaïkl set tMutcnis Akk,%k Qj9k9f en troairaît todjouri 8 de reste ) en les comp* tant 7 k 7 et 13 k 19 9 ne lui en restiiil que 1, et en lescomptam 11 k 11 il lui en restait? : ocmibien ataitr il de moutons?
1235. Deux ouvriers d'artillerie ont rempli ensemble 1 000 gai^ousses , et ont employé chacun la même quantité de poudre i le premier disait au deuxième : Si j*en avais rempli autant que toi, j*aursie employé 18 quintaux de poudre. -^ Et mot, répondait Taufre, A j'en avais fiut autam que toi, je n*eo aurais ein|rioyé cpie B« •^Combien chacun d'eux a^t-il fait de gggowsse s ?
1236. Combien de temps faut-il laisser un capital à hilérék oomposés^ à 5 pour 100, pour qu'il devienne mille Ms aussi grand?
i237. Un tonneau contient cent litres de vin à 1 fr. 50 c, le litre; on en tire 1 litre qu*on remplace par une égale quantité d'eau^ puis encore 1 litre qu'on remplace de même, et ainsi de suite : combien de fois faudra-t-il répéter la même opération pour que le litre du mélange ne coûte plus que 1 franc ?
1238. Partager 70 eu ttois partiel telles qu'en
multipliant la première par 7 , la deuxième par 8 , la troisième par 9| la somme des trois produits soit 561 .
1239. Un professeur d'arithmétique donne à faire à un de ses élèves la multiplication de deux nombres dont l'un surpasse l'autre de 75 ; l'opération achevée, le professeur lui fait faire la preuve en divisant le produit par le plus petit facteur ; l'élève trouve 227 pour quotient, et pour reste 1 1 3. — Vous avez donc commis une erreur, dit le professeur ; cherchez où est la faute. — J'ai compté un de moins, répond l'élève. — Ce n'est pas 1 , mais bien 1 000 que vous avez compté de moins dans la multiplication.
Quels étaient les nombres à multiplier?
1240. Soit a un poids d'eau déterminé dans lequel on a fait dissoudre un poids b de sel : combien d'eau faut-il ajouter pour que le mélange ne con* tienne qu'une quantité^ de sel par unité de poids?
1241* Trouver un nombre qui, multiplié par le carré du nombre inférieur d'une unité, donne un produit égal à 1 •
1242. Pour mesurer la profondeur d'un puits on a laissé tomber une pierre, en ayant soin de noter le temps qui s'est écoulé entre le moment de la chute et l'instant où le bruit s'est fait entendre; soient T le temps observé, \ g l'espace parcouru par un corps tombant dans le vide pendant la première seconde de sa chute; sachant d'ailleurs que les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps , et que le son parcourt k mètres par seconde d'un mouvement uniforme, exprimer la profondeur du puits.
1243. Exprimer la valeur des fractions continues périodiques suivantes :
9 + + ctc.
'+ÎHF
