En faisant, pour abréger
cp — aff — b^' + abc = A, cp — ajf'\-bfP — abc = B,
on a
2 [p' — bc) "
— A qp y/A» — kp(p' — br) [p'-^ac)
2 (y — ac) ' ^
— B zp v/B« -~ 4y (jp — fl^) (/>'^ — gg)
2{p---ab)
66». x^kidyf—d'U)
y = k{d^b^aB') z = k{aO—db),
dans lesquelles
A — rt i/ ^
"^y {ab' — afb)^-^{a'if^d'b'Y
666. On trouvera, pour déterminer x, Tëquation du deuxième degré :
{ié^x + v) [{bv— adr)x^{yd— cd)\
'^[d'x^d)[ad — a!b)x^cd—dd\:=Q.
X étant connu, on déterminera facilement / et ^
Problèmes da deuxième degré à une seale et à plusieurs
incoonues.
Pour mettre le problème en ëquation, on aura toujours égard à la règle énoncée précédemment, et qui peut s'appliquer à toute espèce de questions algébriques.
Nous donnerons quelques exemples comme application de la règle générale.
PaoBLiME. — En reyendant un cheyal n louis, j'ai gagné autant pour 100 que le cheval m*a coûté (de louis).
Soit X louis le prix d'achat du cheval : le gain sera n — x louis^ et d'après l'énoncé du problème, il faut exprimer que ce gain n — a; est les j; pour 1 00 du prix jr. On aura donc l'équation
d'où 4?=— 50±10v^25+/i.
PaoBubiB. — Il existe un nombre de deux chiffres tel, qu'en le
iivîsant par la somme de ses chiffres, puis renyersant le nombre
t divisant ce nouveau nombre par la somme de ses chiffres, la
lifférence des dçux quotients est égale à la différence des chiffres,
et le produit des deux quotients au nombre lui-même.
Quel est ce nombre?
Soit a; le chiffre des dizaines, j^ celui des unités; le nombre cherché sera exprimé par 10a;-f-/, le nombre renversé par lO^-j-or; enfin, la somme de ses
254 SOLUTIONS ET RiisULTATS.
chiffres par ^-f*.?^* On aura, d'après l'ënoncë, les deux équations
L'ëqiMtion [4 ] ti6 réduit à
et donne par conséquent
L'équation [2] mise sous la forme
à cause de la valeur de (^-f-^)^ devient
et| supprimant le facteur commun x^^i^ donne
^ = 8} d*oii x=i.
Le nombre est 18*
PmoBLim. — Combien de mètres contient la pièce «Tétofle qae TOUS ayez achetée, et combien Pavez-yous payée ? — Je l'ai payée 90 francs. Je ne me souviens plus du nombn? de mètres qu'elle emtknt, mais je ne rappelle qae le maidMmd Tosbk am v wi pi, pour le w/km prix» une mtllJfe pièct d'étoffe de qmlilé «■ttriewt.
iqOATlOm OD DBUXlàlfE DMIRÉ. 265
ot qai mesnnil 6 nterts da plut, en vm diiini qjOLé le ttètri ne reviendrait à 0,50 oentimes de moins. Combien de mètres ?
Soit X le nombre de mètres que contient la pièce achetée. Puisqu'elle coûte 90 francs» le prix du mètre
. ^ , 90* revient a — .
as
La pièce de drap que proposait le marchand mesu<rant ^-{-6 mètres et coûtant le même prix, 90 francs,
le prix du mètre eût été *^jg.
Par conséquent, d'après rénoDcè du problèmei on aura Téquation
ou 0,50j?f^+6) =90.6,
et «(^+6) = 480.6;
d'où ;v=3Û,
en négligeant la valeur négative.
La pièce de drap contient donc 30 mètfes, et le mètre revient à 8 francs.
PsoNiàiai» -^ Qoimd ces deux «oupup^i sont ouvertesi an ré«er<rcir est yiH en 15 beores» lu petite se«le Piet à le vidiu* iO heures
de plus que la grande. Combien en m^t la grande ?
Soit X le nombre d'heures que la grande soupape seule met à vider le bassin de c litres ; la petite met a; -j* 1 6 ; et en une heure les deux soupapes vident, la
grande p et la petite j4j^ du bassin» Par consé-
quent en 1 5 heures, ouvertes ensemble, elles videront évidemment ^^ + -^.
L'ëquation du problème sera donc
d'où ^(^ + 16) = 15(2^ + 16),
et x=2U.
On peut encore mettre ce problème en équation en cherchant le temps que les soupapes qui , seules , videraient le réservoir en x heures et ^-|-16 heures, mettraient ensemble à le vider. Or ce temps est
exprimé par ^T^^ . ^gv f et par conséquent l'équation du problème sera
d'où l'on tire la même valeur pour x.
PROButan. — Deux fontaines coulent dans nn même bassin successivement, la première pendant une fraction — du temps que la
deui^ième mettrait seule à le remplir. Alors on Tarréte et on laisse couler la deuxième fontaine jusqu'à ce que le bassin soit rempli.
Si les deux fontaines avaient coulé ensemble, la première n'aurait donné qu'une fraction ^ de ce qu'a fourni la deuxième, et le
bassin aurait été rempli t heares plus t6t.
Trouver le temps que chaque fontaine, coulant seule, mettrait à remplir le bassin.
Soient :r et / les nombres d'heures que chaque
ÉQUATIONS DU DEUXlàME DEGRi. 257
fontaine mettrait à remplir le bassin. Si Ton désigne par c la capacité du bassin , c'est-à-dire le nombre de litres d'eau qu'il peut contenir, il est évident qu'en 1 heure cliaque fontaine donne
-et - litres d'eau.
et d'après l'énoncé, en - jr heures, la première^ fontaine aura fourni
— litres d'eau.
