nn
M AIT mn{n+i) m'(n'^i)f^ 1057. ^ j-5
1038. Boulets de 24, 2184;
boulets de 36, 1018;
bombes, 385 ;
obus, 1 85.
330 SOLUTIONS ET RfiSULTATS.
FRACTIONS GONTINnES.
Pour convertir une fraction ordinaire en fraction continue, cherchez le plus grand commun diviseur entre les deux termes de la fraction : les quotients successifs seront les dénominateurs des fractions intégrantes, dont le numérateur est toujours Tunité.
Pour avoir les réduites successives d'une fraction continue, formez d*abord les deux premières réduites ; puis, pour former la troisième, multipliez le numérateur de la dernière réduite formée, c'est-à-diw la seconde, par ]e quotient incomplet auquel yous vous arrêtez, et ajoutez au produit le numérateur de la réduite précédente : le résultat sera le numérateur de la réduite. Multipliez de même le dénominateur de la dernière réduite par le même quotient incomplet, et ajoutez au produit le dénominateur de la troisième réduite : le résultat sera le dénominateur de la rédtiîie.
Avec la deuxième et la troisième réduite, vous formerez de même la quatrième, et ainsi de suite, jusqe'à la dernière réduite, qui est toujoiurs équivalente à la fraction ordinaire d'où provient la fraction continue sur laquelle on opère.
La valeur de la fraction ordinaire génératrice est toujours comprise entre deux réduites consécutives^ plus petites ou plus grandes selon qu'elles sont de rang impair ou de rang pair.
La différence entre deux réduites consécutives est une fraction dont le numérateur est toujours égal à 1 , et qui a pour dénominateur le produit des deux déno*
FRÀCTlOirS CORTllCUBS. 331
minateurs ; évidemment la différence entre la fraction génératrice et une réduite quelconque est plus petite queTunité divisée par le carré du dénominateur delà réduite*
La propriété précédente fournit le moyen de déterminer sur-le-champ un couple de valeurs convenables d'une équation indéterminée du premier d^é : ainsi, dans réquation
27x— 197=43, si l'on réduit 7^ en fraction continue, on trouvera
19 = ' H n et pour réduites j, ^, g, y, ^,
doulontire __-. = __,
et par suite
27(— 7.43) — 19(-.10.43)=43, équation qui s^accorde avec la proposée si l*on a
ce=— 7.43 = — 301, |3 =— 10.43 =— 430.
Les valeurs générales seront donc
Olaoft de SOI et de 430 les plus grands n»ltiples de 19 et de 27, ces valeurs se réduisent à
comme on les a trouvées précédemment au n* 786. [Résolution des équations indéterminées du premier et du deuxième degré.)
3 , \ 3' S8' 2»' 7î' 31 3 ' 1 637' mÔ' 5537*
1 i. A i^ ZL i^ J!i£ ^"^
jj, , j »0' 41' 307' 1576' 3W»' 5038' 18»«ï'
lAJl 1 1 3 ^ 31 38 66 101 268 369 8065 1U44. 5, 5, g, ^j, gjj, gg, j^, j,^, ^gjj, j^jjj, -— -|.
104». If.
FRACTIOKS CONTINUES. 333
Réduire les radicaux en fractions continues.
Soit à réduire ^4Ô en fraction continue :
Extrayant le plus grand carré contenu dans 40, on aura
De iai«=3+î
on tire
De ^^ + 6 = 12+1
on tire .8= ,*— =j?;
par conséquent
+ etc, ;
d'où Ton' tire les réduites
En réduisant un radical carré en fraction continue
334 SOLUTIONS BT BliSULTATS.
on trouve toujours des quotients incomplets périodiques, oomoM oa le voit dans resemple ptécédent.
Une particularité remarquable de ces quotients, c'est que, la réduite correspondante au qnotient qui
précède la fin de la période étant désignée par ^ et ^ étant le radical donné^ on a toujours
selon que la réduite est de rang pair ou impair. AiBÛ, dans l'exemple précédent, la réduite -^i correspondante au quotient incon^ilet 3 qui précède la fin de la période 3,12, donne
Danarexemple da n* 4046 qni suit, on a de même (127)* — 28(24/ = 16129 — 16128=1, et dans celui du n^ 1048,
(i82)»—53(25/=33124 — 33125=— !• Etant donnée la fraction continue périodique
+ etc.,
si Ton fait / = 3-^j j
5 + + ete.<»
FB ACTIONS CONTIflUES. 335
OD aura en même temps
d'où l'on tire x/ = 2/-+1, j = -g^^;
et éliminant jr entre ces deux équations, on obtient
i/5«— «i-U* 5 1« !I il' 1!21 etc
V28=5i J rT'T'Tk'lM'®****
«0+ -f-etc,
6 7 13 20 83 73 126 199 2K14 , ï 1» 1» T' T» T' H' 1» » "âÔ"» 319"» ®*^'
+ etc.
336 soLimoifs et résultats.
1048. 7 + (î l ?î. ?2. Ëî. 1?! !È2?
p 3 > 4 > T> Ig-i -357-1 «te.
•i-ete.
1080. lOôl. a»— tfa;--1=0. &r?— «Ax— a=:0.
c([1— A(jî — a)]«=0.
LOGARITEniES.
fM 4
1053. logx=loga+— loge — logé — x^ogd.
i0»4. iogj=ilog(a + A)+Mog(«-.A).
' log(*— «)— log(#— /)
1 057. log 7 = ^^3j- (log / — log a).
1066. 1067. 5,7177339. log 6,044254....
1068. 1069. log 10013,07.... log 413602,8....
1070. 1071. log 1,701222.... 2,485523.
388 soLUTiom wt riIsdltats.
1080.1081. «> = ,u^Xiogy ^ = *<- 1082. 1085. a;=9,586838... «=— 13,70H7..
1086. 1087. *=*0,759965. «te2îqFl»>"=Sr+T- 1088. 1089. x^y^, jr^s/^ * = ^
e ëtant la base du système logarithmique.
1092. x^tf^—a,
1093. a^lf^^^if^di^.
imtKÈn COMPOSA bt ahvcités. 339
nrréBÉfis COMPOSÉS et annuités.
1094. A ëtaot la somme demandée, formée du capital primitif et des iotârélt des intérêts,
AsBstf(4-f-r)".
109S. 24005 fr. enviroD.
1096.1097. 34050 fr. 70 c. 66065,73.
1098. Eaviroa 42702820 âmes.
1099. 21673 fr. 31 c. environ.
1 1 00. Environ 1 6 ans.
1101. ^=^!2i£±JL!2£ÇL±^2z±lf.
Iog(l+r)
1102. 3876 fr. 29 c.
1105. log<i=Iog</'-f/ï'Iog(1-f-/^--»log(1+r),
1104. \og(i+r)^^.2i£±L!2iil±I±±§£,
llOtt. 11686 francs environ.
1106. 2 fr. 47 c. environ pour six mois.
I 23 environ pour trois mois.
1107. ;p=^(Tqp7J— 1.
340 SOLUTIONS ET KÉSOLTATS.
1 108. Presque 1 8 ans pour le double,
un peu plus de 28 ans pour le triple,
1109. 4,91 pour 100.
1110. log(l+r) = i2SJ^Z±£f.
1111. 1112. 2963 fr. 68 c. environ.
(1 +/■)"* 1113. 1114. 14882. Dans 78 ans environ.
111». a(1+r)-±iiil±f=lJ.
1116. 1117. 14804 fr. 47 c. 3093 fr. 37 c.
1118. 31 593 francs environ.
1119. 38009 fr. 41c.
1 120. Dans 37 ans environ.
MMOO logb — \og{b — ar)
1122. n— log (1 +r) '
1125. 1124. «=£^1±^^. 2664 fr. 27 c.
1128. 1126. 2356 fr. 46 c. A==1^±ÏL^
1127. 200 francs environ.
1128. 2003 francs environ.
INTjfRiTS COMPOSÉS RT ANNUITÉS. 341
1129. A 30 ans environ.
1130. logn= '-«*-'ff--) .
liai. <r _____
^ dësignant la rente de la première année, et u la valeur de l'annuité A* pendant n années, en supposant l'annuité constante.
342 fiOLUTlOffS £T BjfSULTAIB*
