Sion pose u — arc (97; VOn A LU US D — eu + eu

A er ab PTE EL ONE LCR ESS 1er LH nl LA

u es HOT PL PR

Si u — 0 pour z— o,etsiz décrit un contour à partir de o,

LH Z F—; décrit un contour correspondant partant de la valeur 1,

Ne le ; l'H2 duquel on déduit la valeur du logarithme, en posant = — pe”

+ et L : - —= L2 + io, où w varie d’une façon continue. La fonction arc nie z a ainsi les points singuliers z — + 1. L(r + z) ou L(1 — 2) changeant de valeur lorsque z fait le tour de l’un de ces points.

S1 z décrit la droite qui joint les points o et 1 +1, 1 — z décrit la droite qui joint les points 1 et — : 1 — z décrit une arc d'hyperbole qui joint les points 1 et - ‘x . On peut poser :

z—(1+ 1), Vi (ii iZ=X Vi, X— Y— 1 —1, OXY = — 1 — X2 — Y? — 1,

Cette hyperbole a les asymptotes Y = X (— 1 1/2), les deux points sont sur la même branche, comme on peut le prévoir.

Entre cet arc d'hyperbole et les droites joignant ses extrémités à l’origine, il n’y a aucun des points singuliers Æ :. La fonction

arc tg v, oùv—\/1 — 2, aura la même valeur, si au lieu d'aller du

» Al 1 VE: L L , e » Lé point rà —— par l'arc d'hyperbole, on suit l'axe réel de 1 à o, V2

. . CE , L 1 Er l , , , puis la droite qui joint o à ET . Sur l'axe réel, arc tgv varie de arc

T « FL OUT . . ° t& 1 — à arcigo—o. Il reste à étudier la variation de arc tg v 1 — 1 x l U de v—oûà ra ,ona : arcigo—! L! ce V2 Le v.

: SUR, Soitu—{(1 —1){, {variant deo à ve

+ uv Hifi —i) 1 —9û — ” 0 —b{+ii +) 1 +28 Re Horn 1 — 2{? hé CT

PET ner t Mer aps X? H(Y — 1} — 0,

Lorsque { varie deo à , le point (X, Y) décrit un arc de cercle

du point 1 au point à QUE V2), cercle de centre i, de rayon \/2.

Si on pose «©?

Lis u

— pe, p varie de 1 à 2 — 7, et w de o

. On a ainsi, lorsque z == 1 + à,

me are tg VE à Lé(r VB) FÉES +).

On peut aussi effectuer les transformations suivantes :

eV A 2 COS 2u 2 — L' — {g Po No MANU EE UE u == arc tg'\/ 1 ete DE 1 tg”u 1 HE cos ou À TR Z sin | 2U — - |} — — COS 2U — 2 Z — 9 T U—- + -— arcsin À Z — 9

si z — (1 + 1) décrit la droite dd{—oà 1,

A SP A AO rent M et oo mir. | NES PEUR TS y décrit un arc de

cercle de centre - , de rayon —- 73 qui joint les points © et — à;

cet arc est situé dans FA des axes négatifs, car

CE CRIE tr SR QG +dt—e (—i) + Comme la fonction arc sin z — — iL(zi + \/r — 2?) n’a que

les points singuliers z = Æ 1, la variation sur l'arc de cercle est la mème que sur la corde qui joint les deux points 0, — 1 ; car il n'y a pas de points singuliers entre ces deux contours.

Alors z — yi, arc sin (yi) = — iL(—y+ \/1 + y?) comme y varie dé (o-à — Fj pOur Y— — FT, 0n a:

Pirates T &. - .

—— e x ho. on. r Eu u —arcigÿ—i=z; +; C Sin (—1) =—

ET

62. Supposons | z | <5et4/z +5 positif pour z = o. \/z +5 conserve une valeur bien déterminée, son argument reste compris

T u: Q r . ù entre — > ct tant que la partie réelle de z reste supérieure à

— 5. L'intégrale prise sur le cercle z — 4e, dans ie sens direct, estégale au produit par 274 de la somme des résidus des deux pôles

Z2— 1, 2 — 2, intérieurs au cercle. Soit z — r -+

1 E.o 1 (—1)(G—2) Vz+5 P(t— 1) 1/6 +14

cms | À F+ en = (I — 1) u —

ee EL TRES VE (+ St+ GE + …)(1 Fat +)

Vatane

S12—— 911, on aura: