É À TE
EE ———— are t\—2 ee — EG osyye+rs eyr 0 (us
L Sy 1:43 À se DAY RNTEE “MEN Ent PE ir Eee RE ar er .)
PUeNS 20 )
Les résidus sont — et (5+3 à 59 SI 12 V6 9/ V7
L'intégrale est égale à Ge 6 SR 59 ri 196 /7 6 //6 63. Supposons 4/2? + 2 ayant la valeur -+ 1/2 pour z— 0, il y a 4 points singuliers z= +1, z = + i/2. Aucun n’est ME PAT dans la circonférence de centre —— die qui passe aux points oO, 1 el.
Il en résulte que, sur l'arc de cette circonférence, et sur la in qui vont de z — o à 1, les intégrales, ont la même valeur, z étant
réel, posons æ — 1/2 tg t.
dr roi AS We COS LR (a? +) ai a (UE et 1) cos Pet E sin En
CSI) — arc tp
- dx 1 T a — mes —— 2 —= 0,5236.
CN a Va D
. [4 1 À) L2 L2 L1 La circonférence de centre ; + 34 qui passe par les points 2 3 , 3 comprend, à l'intérieur, le point z = 1. L'intégrale, sur
l'arc qui joint les points 0, + et 1, est égale à l'intégrale, sur la
corde o 1, augmentée de l'intégrale autour du point singulier z — i, prise dans le sens négalif, qui est égale à — art multiplié par le résidu, ou par la valeur de
1 1 G+ivVé+a à
On a alors, sur cet arc :
| Ol QG
Il faut, en effet, remarquer que les points z = +1 \/2 sont hors du cercle ; lorsque z décrit l'axe imaginaire z = yi
Vai+a— va — y, de y—oùr, 4/2 — y? varie de + \/2 à 1,1/2 — y* reste positif tant que z n’atteint pas l’un des points singuliers, et 1/2? + 2 prend la valeur + 1 au point z — 1. L'intégrale sur la corde o, 1, suivie de l'arc 1,0, qui comprend le point z — 1 à l’intérieur, serait égale
à l'intégrale + x prise autour de ce point singulier. 64. On a
"= | (x? + y? + 2) (de + à) — f 2 sde — | a =
= + fe ++ sde +») Il faut donc
a + Has (ze Hy) M
x? + 8 — +7 + frte+ mate».
SIZ— y? pour æ = 0,0na:
RNA Er PB da
nd y° y?
Jo) dy = +
RE Rec au sy, (er) ue E y) Kansas
A Un . IE oy(e + y) + EH.
On peut également exprimer que
(y? + 2?)de + (22 +- x°)dy
est une différentielle exacte ;
la résolution de cette équation aux dérivées partielles conduit au même résultat.
65. Supposons d'abord \/z(1 — 2) réel, et négatif, lorsque z est réel et supérieur à 1. Lorsque z reste extérieur à la circonférence de rayon 1, z faisant en même temps le tour des deux points singuliers o et 1, ce radical reste uniforme, car si z fait un tour
2 3 % ra , 3] ° ra 3 l'argument de 25 a augmenté de 5 27 celui de (1 — z)5 de 5 2
l'argument du produit aura augmenté de 27, ce produit, multiplié par e?7i, n'aura pas changé. Sur tout cercle de rayon supérieur à 2, l'intégrale a la même valeur, car il n’y a plus de point singulier. Cette valeur est nulle, ce que l'on voit en faisant augmenter le rayon indéfiniment. Si z — pevi, le module de
14 pe*"idu o (pet — 2) V/prervi(r — pevi)
est plus petit que
eh. du pH TA 2 p IF Jo (p—2)Vr{@—i} PT?
qui tend vers zéro, pour p — .
2° Soit un contour formé d'un cercle c, de rayon compris
entre 1 et 2, décrit dans le sens direct, et d'un cercle €, de rayon: plus grand que 2, décrit dans le sens inverse. Si on réunit ces deux cercles par une coupure formée de deux rayons infiniment voisins, qui seront décrits dans des sens opposés, la fonction restant uniforme, puisque | z | > 1, les deux intégrales sur ces rayons se détruisent. Mais le contour fermé ainsi obtenu peut se transformer, sans jamais traverser un point singulier, en un contour qui entouze
le pôle z — 2 dans le sens négatif. Le résidu de ce pôle est la 1 4 ; valeur de —— pour z — 2, ou, d'après les conventions. V/2z?(1 — 2}° . ROUE 1 faites, ———. On a donc C2] A
27 Ye i ne f-l==* 8, [= [= ris.
ci C \/4 ca Vel
dz 4 Formons | 57 Île long d’un contour formé:
Le]
de l'axe réel de z — € à 1 — €, en supposant VAT — x) réel et positif. Puis un demi-cercle au-dessus du point 1, l’axe réel de: 1 + € à une valeur r comprise entre 1 et 2, le cercle c, décrit dans le sens positif, l’axe réel de r à 1 +€, un demi-cercle au-dessous de z — 1, l'axe réel de 1 — € à €, et un cercle de rayon €, pour revenir au point initial . Dans l’intérieur la fonction conserve une valeur bien déterminée, et l'intégrale sur tout le contour est nulle, car il n'y a pas de point singulier à l'intérieur. Sur les cercles de: centres o et 1, et de rayon €, les intégrales tendent vers o avec £&, Car si z — eebi,
wi.
— — £° 6 id,
Si Z — I -+- cevi
Les deux parties d’intégrales entre 1 +& et r, décrit en sens inverses, se détruisent ; puisque le radical reprend la même valeur quand on
a décrit le cercle «,. De & à 1 —#, on suppose Ÿ/x°’{1 — x) réel et
positif. Sur le cercle de centre 1, on a :
S 3% T; : DRE TS 'RETIE TT Zu tpeet, 1200 Th, fi zieee 9 , u) variant de + r à o, car ce demi-cercle est décrit dans le sens.
négalf pOur 2 —"1-+"e
