D ODE

GES TPE

f=sivs. 3 , |

Après avoir décrit le cercle c,, le radical conserve la même valeur. Mais, quand on décrit l’autre demi-cercle autour de z — 1, continue à diminuer de 7, et arrive à la valeur — 7. Lorsque z — x,

CPROUR DÉNRENT Va— zx (1 — ze VE, ’ où (1 — x)° est la valeur réelle. On a ainsi pour l'intégrale, sur tout le contour :

J ee des: 8 ES ds + o (æ—2) fi — x)

DT ART EST Ue dx ART AE A ” 6 TR 0 (x — 2) Va(1 — x) Dar 4 OUT S rte (/8 V5— 1.

3m SALE . 3r ui 2/5 6 ET: 2, SE - x e” —e 3*x

Cette valeur de sin “g peut s'oblenir en exprimant que

| da Ts Sin 1 La —= O.

. r . . 1 66. Si | z | >> 1 on peut développer suivant les puissances de -

de 1 1 1 1 I PS ON A Tr DE EU, s SR RO NRA Re SE 2 NEO MTS Û

A 9 r + . ]l RS LL l z = © estun pôle, d'ordre 2. Le résidu est le coefficient 3 de ——:

| REA , 1 On peut vérifier qu'en posant: —-ona

PL esge | Pre SN SR ERA Une SE Et) TES 100 EE OC ST TON

pour { — o le résidu est

ART constante ; qui est la valeur sur un cercle de rayon infini. Si z décrit un cercle dans le sens direct, le sens est inverse par rapport

CRE À L —— e°dz, sur un cercle de rayon supérieur à 1, a une valeur

à la partie extérieure, ou z = © . L'intégrale est égale à — 3 mi. 67. La fonction 9 9 De —é+ef e* dy O est nulle pour x — 0, sa dérivée zx x W——oxe + | e dy +xe” —— ve + | e) dy Lo LEA [e) LE (a) car Aa Rx y2 x? 7 Fey<e | Ayo ere re [e) / O

u reste négatif.

On a un contour formé de ox de o à a, la droite x — a sur laquelle z — a + yi, de y — o à a, et la bissectrice y — x sur la-

quelle z — (1 + ijt de { — a à o. Sur ce contour || es" Vues nulle, car il n’y a pas de points singuliers intérieurs. On a :

a *q o fl coude | T7 A NT MEET Ÿ + [ fai "ht + ijdt = 0. O U a

Le second terme a un module plus petit que

a out nl [ met a? ” 2 2 pu Te > CRT CUVE CN M er [e)

qui tend vers zéro, pour a—.0Ona ainsi, à lo limite :

Le) TO : ;

o1r2 ae LT —

(1 + ) | de ni e Cd == "Vr O0 (e] œ

mn [ (cos 2x? — 1 sin 24° )dæ = (1 — 1) ÿr

1 cos (2x? )dæ = jo sin (ares —— me [e)

je cos (x?)dæ il sur) : Ve

M PE Ut LT as 68 Te Jet

Rs ot à

$ x (FES de =1———+Ll(i+t=;- RS MURAT

1} (+ LG + ) dé — 2L(1 + 2).

Pour préciser la valeur de cette fonction, on peut poser

z——1+pe%, zL(1 + 2) — z{L2 + iv)

OÙ w — 0,p— 1, pour z— 0, lorsqu'on suit un chemin déterminé, w varie d’une façon continue, et reste déterminé en chaque point, si la courbe ne passe pas par le point singulier z — — 1. Les diverses valeurs, obtenues au point z, s’obtiennent en ajoutant 2Krz, K étant un nombre entier positif ou négatif, qui

représente le nombre de tours du point — 1.

$ Si J peut être prise suivant un chemin quelconque, qui corres- [e)

pond au chemin c, précédé d’un certain nombre de tours du point

— 1. On peut avoir

2+x ë Ge NE LEA) RE et JG) = 2zL(1 + 2) + 2Kriz.

Les valeurs que peut prendre f(z) sont les mêmes, on peut ajouter 2Kriz, où K représente l’ensemble du nombre de tours du point z, faits par la variable &, et par la variable z.

69. Une chaïnette, symétrique par rapport à oy, a pour équation