Sur la demi-circonférence z — Re**, on à : dz — Reid

ù Res d TER dont le module est inférieur à oO l

Réehvi Rte

ù Rd FAT rR? Peter UE

et tend vers o, pour R — w. Il reste

à sa ad , x?da LEUR PES ET ENS CNRS RAR QT

qui est égale à la somme des intégrales prises autour des pôles intérieurs au contour fermé, ou au produit par 27% de la somme des résidus de ces pôles. Le dénominateur z* + 7? 4-1 est nul si

HEitis … y a deux

nl 2,8 Ez,-bti 0

La]

m pôles intérieurs au contour fermé :

1 + 13 Le — 1 + V3 ee ee à à Do ON, 1 2 1 — 2 u un d’eux ési limite de 22 -———"°— ou la Pour chacun d'eux le résidu est la PR

z Valeur de Er = Gr A + 2e

Ti

Pour z — e 3 le résidu est

ete) NA 1 VEr DT NS RE TS TRUE h& + 2e 5 À Ÿ 271 [3 GE Æ re pm de | —, | RSR 10 — Pour z = e 3 , le résidu est Ti = a TS — Nr d Se: — 1 d h-+ 2e j La somme des résidus est — 2 V3 AA = a? dx T r V3 5 — = —>© = 5 — 0,906.

SR LS ee Et 2 V3 (6)

72. Soit p + pres — arc sin (x + yi) æ + Ji sin (p + qi) — sin p cos qi + cos p sin qi —

| el + e71 1 el — e71 — Sin P US rene OCR

P» 9» ©, ÿ étant réels, on a :

bi 61 et — e71

— sin p TE NAN EDED

En éliminant g, on a :

(æ cos p}? — (y sin p}? — (sin p cos p}° sintp — (1 + à? + y?) sin?p + æ?— 0

sin?p a deux valeurs séparées par 0, I, + w , on a donc

sin p— + /: + 2? + y? — Vi ee him ne 40 Me \ 3 comme et + e71 > O0, sin p doit avoir le signe de æ. On a ainsi pour p des valeurs de la forme p, + 2kr ou 7 — p,+ 2hkr, à chaque valeur de p correspond pour q une seule valeur, donnée par l’équation L Y

e1 = -—— ; sin p cos p

En particulier, ji 20, OU A MN Pp—0, DAT el UaAlsICe

cas, € — e71 — détermine q. Si, pour z—0o,ona

ne p

arc sin O — 7, p conservera la valeur 7 tant que z décrit l'axe 07.

On a alors ENT ee 0 e°1 + 2yel — 1 —0

comme e2 doit être positif, on a

EEE Ve VE + q=L(- 7 + vi + y) arc sin (yi) = 7 + iL(— y + TIR Y'}e

Lorsque y — r, le logarithme étant réel, on a :

arc Sin t —= 7 iL'/2 — I1)=T iL(1 + V2).

Tandis que, par des contours arbitraires, cette fonction peut

prendre les valeurs 2ke + iL(i +2) et 2kz + r — iL(i + Yo).

On pourrait encore se servir de la formule :

Si, pour z — 0, arc sino — +, /1 — 2? qui représente le cosinus

de arc sin z est négatif, et l’on aura

arc sin z = T — ———— , / }

ÿ1 — 22 parlant de la valeur + r. On a alors, si z = yi

I d É Énpemendent LT arc sais | Tears y — (LG + Vi AR A RTE