AC RATE

En prenant les dérivées, on a une équation différentielle entre æ éLy

nb OS ca Æ 12 PE PTE AGEN ET Pt — 3) : We 2 — y = SE (y? — à) (e + 37°).

La solution y"? = 1, y! — + 1, donne, en tenant compte de

l'équation différentielle donnée, y = Æ (x — 1), C’est une solution singulière, que l’on obtiendrait en exprimant que l'équation donnée en y a une racine double. En supprimant cette solution, il reste :

S1 x est considéré comme fonction de la variable y', celte équa-

; RTE L ONE fs s tion est linéaire entre x et sa dérivée dy L'équation sans second

membre aurait la solution x — cy', Si on pose x — :y', l'équation complète devient

Ÿ T5 — 3", Zz — 3y' +00 Li DY A Cye

De l'équation différentielle donnée on déduit :

Si y’ est un paramètre variable, ces deux équations représentent la courbe intégrale. Les dérivées de x ct y s’annulent en même temps si 6y' + c« — 0. Posons :

c € 13 4 c A" y+i=t x—3P — —, y=n—id+t+(s).

Si on déplace l’origine des coordonnées en posant :

x Eee SN de a ris PLV S CT NN At 65” on a la courbe REC Te, SR OO EE EX 2 D] BAL D ESTT ; cl si; V5

la nouvelle origine est un point de rebroussement, la tangente à

, EVE r NES l'origine est Ÿ — — G À.

En particulier, pour y! = 0, { — a IN . Les conditions de l'énoncé donnent c — — 2, VE JAM : 1 | z—X—;, :

S.26 | y= Y\ — te or o , DÉC x Macs Xi sr V3:

: /X Vie + \/ | / 3 [+ 76 A = y La valeur S x , X ANUOUN VAR ie ce ET / augmente avec X de À — o à + ce. L'autre Fi L AMAR HORAEES D e valeur augmente de X — o à X — 3, puis diminue et devient

"LR 4 : 3 à négative à partir de X — 3° Les branches sont paraboliques, 0y est la direction asymptotique (/iq. 4).

96. On peut chercher si l'équation peut être vérifiée par un polynome. Comme y n'entre pas dans l'équation, on peut chercher

, Al L4 ? d > 4 F 4 d'abord à déterminer y . Soit ax" le terme de degré le plus élevé

d 0 ‘7 C2 | 4 de de , dans le premier membre de l'équation, les termes de degré le plus élevé sont : afn — 5)x"+% + 9x°. Pour qu'ils puissent se réduire 1l faut, oun —5,ou n = 2.

Posons alors :

ly à D = a2t + bat + cx + dx? + ex + f.

En substituant dans l'équation, et écrivant que les coefficients des puissances de æ sont nuls, on a :

b+a—=o, CISND0: 3, the, b+f—o

et trois identités. Le coefficient a reste arbitraire, et l’on a la solution générale

1 , ; . — 8x? + af — xt — x +1)

x 1 ve x?

NS er

Cette équation représente une courbe qui passe par l'origine si b—0o, y — 6x + a(5xt -— 4x — 1)

o est un point d'inflexion, si, pour « = 0, y" = — a = 0. Ona la soluhon = 2.