On a

y = (x — ) [”roPcoa + (x — ) [roc

7 = [JOPO + (> — DftP( + [ro + + (e — Df(x)Q() = 2f(e)P(e) + (e — a) PQ) + JP(o)] + 2f()Q(e) + + (e — bi (@)Q (a) + fe) Qc) et :

J(2) = f(a)aP(s) + 2Q(e) + (e — a)P'(e) + (e — b)Q)] + + fe(e — dP(a) + (e — DQ(n).

Pour que cette relation soit vérifiée, quelle que soit la fonction f(&), 1l faut que l’on ait les deux relations

2P(&) + 2Q(x) + (x — a)P'(x) + (x — b)Q'(x) = 1 Ce — a)P(æ) + (e — b)Q(x) — 0.

Fasry. — Anal, 13

La première équation devient : P(æ) + Q{x) — 1.

PP RRQ) Rene

ptCe DE dr Ia

ie SH RESUME = | FD dat + ET f(E) ( — a)dt

y est la solution de l'équation y” = f(x), qui s'annnle pour += a, et pour æ — b.

117. L'expression RPdx + RQdy est une différentielle d’une fonction F(x, y), si l’on a l'identité (RP) à(RQ)

Ôy Ôx

car ces deux expressions représentent

SF Dp

DR ER et TRES

OTY OYT Si R est une fonction de u — y? — x, et R’ sa dérivée par rapport à u, cette condition devient :

SDS AA CARS 5Q ôP HE NT

KR spye 0

Il faut que le second membre, comme le premier, se réduise à une fonction de ÿy* — x, on a alors :

BAS cliPleu.

Si P— (27? — 2x — rer + (27? — 3x)e” Q — 27e? + 2x(y? + y — x}ev e — È = — 2ye — (2y + x)ev 2Py + Q = 4y(y? — cc} + 2(279 — 2x7 + xy? — her — — Âuye® + au(2y + x}ev

èQ oP R' ox OP ME R 2Py+Q 2u LR EE IT RE

On pourrait multiplier R par une constante, mais on peut la choisir égale à 1. En remplaçant & par y* — u, dx — 2ydy — du; on à :

FPE OP PE Ode Vu Vu — 2 Vu 2yer"—u + (ay + y? — ue dy — (ou — 1 )ev*—u + du

LES Vu

Pour intégrer cette différentielle exacte, on peut d'abord supposer y constant, dy — o, l'intégrale est alors : CR ra 3 PP NURT AERNE

En formant la différentielle totale de cette fonction, et en comparant à la différentielle précédente, on trouve

L'intégrale de l’équation différentielle Pdx + Qdy = o est donc : eu Vu + (y? — u) Vu = c (er + me)Vy —x— 0.

118. Si on pose æ = {y, l'équation (x? — y*)dy — xydx = 0 devient

(2 — y?)dy — Etdy + ydt) = 0

ydy + tdt = 0, +=

on peut représenter cette courbe par les équations Ve 0 ain Ÿ, De 4° sin0 Cos.V GA VE Ou, Si tg Fi een ,

2 al ti — À)