L'équation

MA At Lee

est homogène entre x et y, si on pose y — {x, on a:

J=i+ap = + VS ii ES 7 — tdt

Fo ORAN AT OEIL

Posons :

SAUT Pie cos 0, = si 6 dæ __—sin6 cos 9 d0 sin 8 cos 8 dd 2 — cost 0 + cos (1 + cos Ü)(2— cos) 1 2 sin Ü ge Te

3 Le — — L(1 + cos 0) — 2L(2 — cos d) + Le

D — Ve "ra810 00

(1 + cos 8) (2 —- cos f)}2?

ces deux équations représentent les courbes intégrales. On peut aussi éliminer 9.

c = 2°(4 — 5 cos? 0 + cost 0) — à? + 3xy? + (x? — y?) (e pi 3xy?)* —— Éc ru 4°?

€ — 2ex(x + 3y?) + y#y? + 32°) — 0

Deuxième méthode. — L'équation donnée peut s’écrire

JEU Tr

si on la différentie, on a :

1e 4 LT YU FR DA OP NIET RER AT Ven dyUEue, UE SAS PARNTE Si on considère æ comme fonction de la variable y', c'est une

équation linéaire :

RE Te

3 Lx — 3 L(1 + y?) — 2 L(3 + y?) — 2 Ly' + 3 Le tea Dee AE) L VAS an (3 + y one fe

De l'équation donnée on déduit

! 13 ARLES + Su sé 1 + 2 2 J (3 +y°} ces équations représentent les courbes intégrales. Pour les ramener à la première forme, il suffit de poser

) PERMET re y —=—cCotg E on a :

cotg :

NE RTr — x sin 0 FR 1 + cotg x RS e FO 20" TU TAN Joe 0 CL ADN Ter is Die Ne sin* ? cos? ? (3 + cotg? :) CIE) ) 2 2 2 2° Par rapport à la parabole &? — 2y, le point (x, y) a pour polaire la droite Xx — Y + y. Inversement, la droite y = mx + p a pour pôle le point X — m, Y — — p. Si une courbe passe au

point (æ, y) et a une tangente de coeflicient angulaire y”, la courbe polaire réciproque doit passer par le pôle de la tangente

"6 = Xy' + y ex xY', pôle dont les coordonnées sont X — y’, Ÿ — xy — y; en ce point Ja tangente doit être la polaire du point (x, y}, de sorte que son

coeflicient angulaire doit être Ÿ’ — x, ces valeurs X, Y, Y’ doivent vérifier l'équation différentielle donnée :

Y(i E Y?) + oXY — 0

ce qui donne, pour les courbes polaires réciproques, l'équation différentielle :

(ay! — y} (1 + &) + 2ye = 0 Ya + x)=7Yy(1 Ex?) dy 1 + x ir 1 dx y —2G +) e= (+) 3 3Ly = Lx + L(3 + x?) + Le VOTE").

3° La polaire d’un point (x, y) de cette courbe a pour équation NÉ D EE V/ex(3 + x):

L'enveloppe de cette droite s’obtient en prenant la dérivée par rapport au paramètre & :

:: 0 È Ée pR (é E . 27 \/c SEE NES Y — — V ane me SE 2 a(3 + à°)|* [3 + x?)]°

Il suffit de poser c — c'* et x — y’ pour reirouver les courbes intégrales sous la seconde forme.