CHAPITRE V

GOURBES PLANES

122. La distance de l’origine à la tangente Y—y—=(X— x est De D VT + y?

ce qui donne l'équation GQ—ay}=(G+y'asx où a est une constante donnée d?y'(a? — 1) + 2xyy' + ax? — y — 0

1 —y Ha Ge DER (a? — 1)x

c'est une équation homogène entre x et y, que l’on peut ramener à une équation linéaire en posant

dt rare) € LIU rl = ER 14 Lx, 1 U sE:

DEN to Et 8 2 a?

Cie = = ° dx a? — 1

En prenant le signe + du radical,

en tas} QUÉË + 1 — 40?

rad # a(1 — a*) (1 + À) sb

Posons { — \/1 — a? te 0

ï. EN SE DER di a —3 d ap TRE ont ai HE) a cosÜ(1—a?sin)

l r s 0d9 es

le — . sin?6 a(i— sin? 5) id (= CE 040 — —( 1 1 ) cos db

sept de 1—sind “1-+sn0) a

NOR VER DET US VERT CU sin 0 — = —— y VEHi—a yy + (1 — a)r?

pe (REC RES) per) Vi + QG —a)rt — ay] \Vy + — ax + y,

RE OT CL TG — GE — ay)? = (1 — «) fu E A07

(1 — ax ou 2 (RTE — ape = ECS — y.

123. La tangente au point M(x, y) a pour équation : ets dr CV a 1 £ le point T a pour coordonnées :

Y — o. ru ar y

Le milieu de MT est :

X — x — in Y —Ÿ.

FO EE à Hp — Ne .

NS On, V=Rb (e D) Cette équation différentielle peut s’écrire :

d' () ps +i—o.

or » 4p Si æ est considéré comme fonction de la variable y, cette équa-

tion est linéaire entre x et . En intégrant d'abord. l'équation h " dæ __ 2x

omogène 7, — =, On 4:

Le — 2Ly + Le, Dec CyRS

Si on pose x — zy”, où z est une fonction de y, l'équation (1) devient :

dz __—1

dy — 4py

dont l'intégrale est

Si c —= 0, on a la courbe

La Lo à ARTE a LE Rd 0 deg 2 La pe DORE OT TMC EVE CAE AS

ay âp Il faut y > o, pour que x soit réel. Si y tend vers zéro, yLy tend vers zéro. st y croit de o à

æ croît deo à $.. Si y croit de

7è+e, æ décroît de ; ri GO, À l'origine la courbe est tangente à oY, la direction asymptotique est parallèle à oX. 11 y a un point d'in-

flexion (/iq. 8)

VER Pen ( ele ôpe* 124. L'abscisse de T est XP gun Ÿ

On à :

s à XY — (L) ou = VE 1: TL T c'est une équation homogène entre x et y. En posant, pour éviter

les radicaux, y = x, on a :

der odl

ou

système de paraboles tangentes aux axes de coordonnées. La

206 PROBLÈMES D ANALYSE MATHÉMATIQUE corde de contact x + y — c reste parallèle à la bissectrice de l'angle X'OY.