F Les ay D LUE MMA CREER EE

Pour conserver la même variable, en remarquant que la direction des tangentes a tourné d’un angle droit, posons

On aura :

elle devient :

du , 1 — tg° © ___ a (cos? © — sin* v) cb dp APR RATER Au ? h tg? 6 sin (2 —©) 2V2 sin? ? (sine — cos +) re cos © + sin % a fcosy 1 es PNEUS d'csl Ps FREE œ 2V2 sin? 9 PANDA PAU à * V V 2 lg © cos À

Fapny. — Anal,

nr à d — Ltg+e)

sin

L’équation diflérentielle, où l'on remplace æ et y en fonction de w, donne :

5 PMU À T 1 = sin (r—;) (Le

a RAT QE © — COS 2 Re 2 ee —- L 9 ir Cite 2 Vo 4/ \smo 2

Ces équations peuvent se mettre sous la forme a : ( Lt SA (1 — cotgw)|1 FR tale 8:

Ve : (1 + cotg )[: — sin ele — Ltg #)|:

Elles représentent les trajectoires orthogonales des tangentes à la parabole, ou les développantes de la parabole, que l’on obtient en portant sur chaque tangente une longueur égale à "c—s, ce qui donne le point :

a I — cot2 © . cos © (0) T'es Ur Cote)" de © sin ee MN OT AE n ge) + ï > ( me = a , 1 + coto © . / cos v (9 — (1 4 coôtev) —)a 2: mo le Re rE PE #\.

Par ve go}? - a 4e

Une simple réduction montre que ces formules sont identiques. 127. L’équation différentielle {2) peut s’écrire :

d 1 d s de D — 2ÿ) + 4h(z — }) I PM € Si on pose y — x tg « + Kx° d TR —Y——xtpa

On à a? tg? à + hhKa?+ x —o

qui est vérifiée quel que soit æ, si

aRK = — 1 — tg° 0.

COURBES PLANES | 211 L'intégrale générale de l'équation donnée est 1 +tg a , = gtga— T8 Ty,

2° L'enveloppe de ces paraboles doit représenter la solution

singulière. Cette enveloppe, obtenue en exprimant que tg % a une racine double, sera :

(ahx)? — (x? + Ahy)x?, hhy = 4h? — x?

On arrive à la même équation en exprimant que l'équation

RER dy | différentielle donne pour 7; deux valeurs égales, ce qui donne-

rait l'équation équivalente .

ou

Il est facile de vérifier que cette fonction est une solution de l'équation différentielle.

3° La solulion générale peut se représenter par les équalions :

He DICO: PET Ep:

où & est constant, on a alors :

‘ l By sin 4 — 2h dx cosa

Si & est une fonction de {, le point (x, y) décrit une courbe sur laquelle on à : 4

dx — cos «dt — | sin 2dx

de (sin a — n)t + { cos «da 2h

: l (sin M jt + t cos «dx 2h

dy

der cos à dt — t sin ada

au point ({,œ) cette courbe a sa tangente perpendiculaire à celle

. A = : dy de la parabole qui passe au même point, si les valeurs de}: ont

pour produit — 1, ou :

sin % —+) (sin 4 — D ja cos 2d2 À cos? {cosdt — { sin xd1) —0 2h 2h

( ra Fe FUME cos xda — 0 AS 1m) oh Fe

Fr \ OA:

(: A jt See (at sin dt + l? cos adx) — me d'é? sin a)

k? 2h URSS a 12h? oh

Les trajectoires orthogonales sont représentées par les équa-

tions :

; a A laut 2 Sn a 12h l {2 2ch\?

DE F2 A UT x l (an + & .)