Les dérivées de æ, y, z sont

a! — 2ab, de se z! — 9 b?1 !l a? > € — 0, \ A eue TE 20 On a :

ds 2 12 19 19 9179 a* 442 a° 2 :

di Robe b + pr Gad + AB (Tab

< | ds — É + 2 b°lde, s — Lt + b(P — 1)

si ON SUPPOSE $ — O, pour { — 1.

2° Le plan osculateur a pour équation :

X—ax, Y— y, Z—:

a2 b à 2 2ab, 2b°?l N

24abI{X — x) — 202P(Y — y) — a(Z — 7) — 0 et le plan normal :

(X — &) 20 + (Y — 7) + (Z —abt= 0

a droite, intersection de deux plans normaux infiniment voisins, s'obtient en y joignant l'équation dérivée par rapport à / :

a? è a? 2 —Y-NT HUB pa 20)

ces trois équations déterminent le centre de courbure, intersection du plan osculateur, et de la caractéristique du plan normal. Elles

donnent :

= Y— y PARTE:

a — GE — aabt(a? + 20%) — oabl(a + 20°P) oÙUS X or 0 EN VEN 7 1204 a = sb O0 SE Bt METAL Se oabl

On en déduit le rayon de courbure

(a? + ob?) LES 2abt

et les coordonnées du centre de courbure :

- 2b° a : ; à ù X—aabt——+r——, Y—alLt— ar: Z— a+ 3b8û, a 2bl

Le rayon de torsion T peut se déduire de la formule

TOR NAIL 7 CARRE I 7”. y" n — Sa*b5 1 PRIE TIC dITU A AOL ET AT NTRS NM 101 ER (æ TA Y + Z ) x" y" 7"! PS + #1) R JE eue

Il en résulte que la courbe est une hélice. Et, en effet, la tangente forme un angle égal à q> avec la droite dont les équations sont MO dr 2 3° Soit do l'arc infiniment petit de la base du cylindre, projection de la courbe sur le plan æoy.

EEE A 2 ln LUE se D VAR "ACT mr Ve

l'aire comprise entre deux génératrices du cylindre, qui correspondent à deux valeurs 4, et { de t, sera

{ A = fx = [ | ab? Va? + Ab? 1dt — © t)

— [ar + 02) — (ar + 008).

146. Les cercles tangents à oz en o, et dont le centre est sur la droite z — 0, x — a, ont pour équalions :

(1) OV =, a? + y? + 2? — 2ax +- 20ÿ

où À est une constante arbitraire. Ces cercles restent sur la surface :

(2) Re? + y + 2?) = oa(x? + y*).

Sur le cercle (1), on a :

Fasnyx, — Anal,

Une courbe tracée sur la surface (2) est orthogonale au cercle(r), si l'on a :

azde + Azdy + (a? + 2 — ax — }y)dz = 0

ou, en remplaçant À et a en fonctions de x, y, z :

ART 2 a AT ; adx + ydy + zdz

Lo Er Et à 2? + y? + 2?

En tenant compte de (3) l'équation (2) devient cxz — az(2c — 2).

Les deux surfaces (2) et (3) ont en commun le cercle de rayon nul z — 0, x + y? — o. Les trajectoires orthogonales déduites des équations (2) et (3) sont ainsi représentées par les équations

CT + az — 20, L'ÉVIHZ = 22

cercles situés dans des plans qui passent par la droite z = 0, æ — 24, parallèle à oy.

r/47. La surface S est un hyperboloïde de révolution