COS =— HOUSE
Le plan tangent à la surface S à pour équation :
X—X, ———— cos v, —sinv à 1 | u + - | 2 u ; 0) Y— y, —————sinv, cosv ; 1 u? +- Z — 2, 1 0
$ #1 + - D EE EE EDS VV SN , 1 . 1 \ u* + — 2 u* + — 2 2 les cosinus directeurs de la normale sont :
Qu? + 1 AU SL uy2 Eee TANT ZE COS V, FF RENNES sin v, RP es Qui Eu EU EA Vu? + 1
Si V est l'angle de cette normale avec la normale principale à la
la courbe, on a :
HOT MS NPATE cos Wie Yon Pa JU fu? +- 1
Par le même point {(u, v) de $ passe une autre courbe c’
v— ce — Lu + ÿ1 + 0?) — arc tg ———, Vi su v' et v” sont alors changés de signes.
u 1 usinv \ A ———— SNCOSD
Vu+! ACT nt
u sin u — Vu? + 1 cos v
COS 4 —= = —— , Vou? + 1 __—u cos vu — Vu? + 1 sin v COS PB — ——— — " " " " — , COS ÿ— 0 Vau? +1
cos V à la même valeur.
3° En un point de la courbe c, on a :
A ed 27 9) ROME r2 20,
112 119 12 x LI7 + Li ———— .
Le rayon de courbure R est donné par l'expression :
(Sr?) +1
Zx'222%"2 (2x'x"}° ÿ 2
Pour calculer le rayon de torsion T, on a :
Vu? Lisinv—u cos, CARE EE PT Bar
5 3 ——< — Sin VU + 2 2 3 1 PE A he ES TA 1l 5 2 2 (a+) (+) (+ 1)? VE mm Vur+1 u? + - 2 :
= 3 = SIN U u° + 1 Fe u? + - 7 LEUR 2 té = 5 3 COS V u* + 1 u° —x y! Si ! 2 Tasse y" PUAN LEE z'y" dy pe :
"1 y" [7 (u? ae Bi Y'r/2\3 , (5) ete Ê PARLE Ur re re DER?
Les courbes c peuvent se déduire de l’une d'elles, par une rotation autour de oz. Les deux courbes qui passent par un point M sont symétriques par rapport au plan MOZ.
148. Supposons x, y, z fonctions de {, les équations de la tangente à la courbe c sont
X—x Y—y-Z—z (re CRC DES QUE
la distance de l’origine à cette tangente doit être égale à a
TR CLS en en ay +2
Où :
(ae? + y? + 2? — a?) (dx? + dy? + dz?) = (xde + ydy + zdz)°.
246 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE Pour l'arc s de cette courbe, on a :
she xde + ydy + 2d7 pd?
VRP +R Ver — à CUT
p —= Var +2 s —= Ye? p? — a? — Vo — a.
L'arc s est la différence des tangentes limitées aux points de contact avec la sphère.
Soient MT, M'T' les tangentes aux points M et M” infiniment voisins, T et T’ les points de contact avec la sphère. MT" une parallèle à M'T", et T” la projection de O sur cette droite. T'T" est la distance de M à la tangente M'T'; elle est infiniment petite du second ordre par rapport à l'arc MM. L’angle de TT’ avec TT est infiniment petit. Le plan de MT et MT" a pour limite le plan tan-
gent en T à la sphère, qui est le plan osculateur en M, limite du plan passant par MT parallèle à M'T”.
Si la courbe c est sur le cylindre x? + y* — b?, en posant
x — b cos w, — b sin w, Dar
(22 + D? — a?\b?dw? — (a? — b?\dz?, b<La
dz a Pre —= L(z + V2? + b? — a?) — L Va? — D? pe er é Re
bu z + Vz? + b — à? — eva —
bw — 2 + Va + b? me e VER bw e Ole bu = EE + —— e Va? — b2 |
En faisant tourner les axes autour de oz, on peut choisir la valeur de c. Supposons
æ, y, z sont des fonctions de w, le plan osculateur à cette courbe a
pour équation :
X—x, —bsinw,
—— COS Y—y, bcosw, —- sin / bw 2 06 bu __ bu Paz b(e =) b (re, Va? — b?
ne AT
DR EE du 22 + (X sin w — Y cos w) (es LDES à) FR
a Al a + (X cos w + Y sin Er +de Fi) EY HE De
on a:
L'EY+Ÿe
L 2bw ___2bw REA LS ee la2 — b2 CEA E x'x" + y'y = z'7! — n Ve . (a 0 Va )
? bo bo 2 b‘ ( 1 5 Mrs ) "2 12 EE 2 Va? — b Va? —b D * + 2 = b x) à as A 4e D?) het 3 ÿ LED M Cr js CETTE tem) TANT TS bé b5z? (u? — b?) a° a? b? (a? b?)?
ETES SA — sin w cos w 2!
D ere bd scope laine 2" Le ANR. REA. SIL UN 28 COS OU a?b?
Bas ! à 0 EP !
= b?(z + 7 ) = PCR D A 2bo bo T — BA) à b? NP eve Eee NMEMPS PORT Pa Tu de DERS
RC EN 1) ARTE TE at a EN NE Cane |
248 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE . r , à ù 1/49. Si une courbe est représentée par les équations Vo nin, ARE
Le plan osculateur a pour équation :
X — x, ré (ù Y— y, cosæ, —snx|—o f > ! I Z F4 "A z
(X — x)(2" cos à + 2’ sin æ) — (Y — y): — (Z le plan normal à la courbe a pour équation :
(X — x) + (Y — y) cos & + (Z — 2) — 0.
La normale principale, intersection de ces deux plans, a pour équations :
z'—sinxcosæ z2'cosx+(1+2?)sinx z'sinæcosæ+-2"(1+cos?x)
elle est paralièle au plan yoz si
z'z" — sin x cos x z? — sin? x + c.
2° Les cosinus directeurs de la tangente sont
L cos æ VE T+c V2 + c V2 + c a -c elle forme avec ox un angle constant.
Pour une courbe quelconque, si y et z sont des fonctions de x, le plan normal
X—x+ (NY — y)y + (Z 2) 0 et le plan osculateur DR — 2) (2 — 2 y) — (Y — y + (2 oy" — 0 ont leur intersection parallèle au plan yoz, si l’on a
Z c ré sas yy' re z'z! — 0, de LE pe — c,
la tangente fait un angle constant avec ox; c’est une propriété de toute hélice.
3° La tangente forme un angle de 45° avec ox pour la courbe
Y——sint, BEN E
C—= 0, = — sin r, die COS Lib
En choisissant l'origine, on aura Z —= — COS T, y La courbe est une hélice tracée sur un cylindre de révolution, de rayon I.
150. Si oz est l'axe du cône, on peut représenter un point du cône par les formules :
æ — © COS w Sin à, ÿ =? sin w sin @, 2 =) COS
où « est constant, c'est l'angle des génératrices avec 02, , et w sont variables. Si » est fonction de w, ce point décrit une courbe, les cosinus directeurs de sa tangente sont
p'cosw—psinw . b' sin w + 2 cos w po! cos à sin &, sin 4, :
/ QT ; Le ar 5 PEUR V p'?+ p? sin? « Ve'?+ c?sin? x V LE Çè sin? &
Ceux de la génératrice qui passe par le point de contact sont : COS w Sin %, sin w Sin à, cos 2%.
Si f5 est l'angle de ces deux droites, on a
! ! à 0 sin 4 COS CON Ë = + RENTE Fa V2? + p? sin? « ñ Sin ;
a est constant,
Si on augmente & d'une constante, la courbe tournant autour de oz, la constante c est changée, et on peut la supposer égale à 1, on a la courbe :
e . , at) D COS ISIN, y = e“” sin w sin a, 2 ea COS
æ — e% sin 2{a cos w — sin w), y = €” sin «(a sin w + cos w) 2e" aCosc, dc + y? +2? —e"(a + sin? à) x" — e"" sin x(a? cos w — 24 sin w — COS w) y" = e*° sin a (a? sin w +- 24 cos w — sin w) 2" — ea% a? cos à, AVR 7 — eat + (aa? +- 1) sin? a) ed
CA NM sr de (a -+ sin? a).
Le centre de courbure (X, Y, Z) est donné par les formules :
X — x ne Y— 7 3. Z — 2 TI x'Ex'x" = x'Ex'2 de d Vox Pr Fat ri NE - z'Ex'x" RS z'Ex'? NE ZT DRE Se (Are) GS Sx'222"2 X — x D ee Er __Z—z æ+sin?a ee“ ä SIN W.—- COS © — SIN w — 4 COS W ©. O2 sin à 1 + a? X — — RUE ire [a cos w cos? à +- (a? + sin? a) an w| (1 + a) sin a Y — — PT [a sin & cos? x — (a? + sin? «) cos w| (1 + a?) sin x | LE €" e08-x.
On en déduit :
ae :
X—— Be [(a?+a*cos"a+sin?x)cosw+a(a?+sin?x—cos?)sin w] ae® ré ne [(a?+-a*cos?a+sin?a)sinw—a(a? +sin?4x—cos?1)cos w] Z'— ae" cosa X' cos w + Y’sin w) sin a AE Re tee De ei COS w to): = — - 3 LÉ r1 A LR à 9 2 x\e%0 (— X! sin w + Y' cos w) sin a — ——; (a? + sin? « — cos? x)e
1+a KE LEN Er D
ce qui montre que les tangentes aux courbes S et S, sont perpen— diculaires.
29 Posons 1 € 79 Es d'en 2 + DANS ee R'—= X NY HE ES re — sin a)+e COS 4 = e?4u
Rs k FU ni 2 RO (at + a? sin? a + sin? « cos? a)
et
a cos? a a + sin? « RE PR Dee a RP — COS Y, (er em me Pan ST ŸQi + a?) (a? -- sim o) V(i + a?) (a? + sint a)
== sin Y.
Les équations de la courbe $, peuvent s’écrire :
a? + sin* « a* —+- a? sin? & +- sin? à COs? à a? + sin‘ « :
Y = — Ra (/— EEE Le ;— Sin (w — y) a* + a“ Sin“ à + Sin“ & COS“ & Z = R sin a cos a |/— Rte © Ce at + a? sin? «à + sin? à cos? « a UF. DM TELE NN D COR OU NOR LE VERS sin? x + sin? à cos?
sin « 1 + a? À Si on pose
a? +- sin“ a At RON re RE DA NS 2 si 7 lu, a* +.a* Sin « + SIN” X COS“ X ol e LEGS { BEN COS, — COS À
a* + a? sin? à + sin? « cos? « et si on fait tourner les axes de l'angle ” autour de oz, ces équations prennent la forme des équations de la courbe $. Elles représentent également une courbe tracée sur le cône de révolution 2/2 ET" ! a’(a? + sin X?2 —- V2 == Penn) Z?
(1 + a°) sin* a cos? «
dont les tangentes forment avec les génératrices un angle constant 5’ donné par les relations : |
R' ss [ !
sin & cote = q 8 À R LIN TE & + sin « O pi % DpEC ere NEl rend CE at + a° sin° ü | sin & COS* d
151. Une sphère passant par le cercle Mo a? + y? + 2? — 2xf(t) = 0° a pour équation x? + y? + 2° — 2xf(l) — a? — 2(y — tx)h — 0 où À peut être une fonction de 1.
La sphère mobile a, en général, une enveloppe, et les courbes
caractéristiques s’obtiennent en prenant l'équation dérivée par rapport à {
: À æf'(D) — aÀ + (y — (x) Ne)!
2592 PROBLÈMES D ANALYSE MATIÉMATIQUE
Cette équation représente le plan du cercle caractéristique. C'est le plan y — {æ, si l'on a À — f(1). On a ainsi les sphères
+ 8 +2 — af — W()}e — af O7 = ai
qui passent par les points fixes
DiEAY RO, A ee a et dont le centre décrit la courbe æ = f(t) — u(L), 18 HU RM Das le cas particulier où f est une fonction linéaire
s ; d'A JC) = at + b, AE DER Tr 0
il n'y a plus d'enveloppe, l'équation de la sphère devient
a? + y? + 2? — obx — 2ay =
elle ne contient plus { et reste fixe.
2° En remplaçant # par =, On a l'équation de la surface, enveloppe des sphères œ? + y? 2e? = saf(L\,. RES le Sur cette surface on a :
xdx + ydy + zdz = f(L)de+f(f) dy — ydx
x x La normale, qui passe par le centre de la sphère, a pour équations :
EEE { —
TO TO DE OI L'équation différentielle des lignes de courbure est
x—f+tf", dx+tf'dt, dx Y—f", dy—-f'dt, dy |—=o
Z, dz, dz
AE Y— 7 Z — 2 dé oé
qui se ramène à la forme :
EN ME Didt op —1, dy}dt=o.
Z} O dz
L'un des systèmes de lignes de courbure, { — c, est formé des cercles caractéristiques, ce que l'on pouvait prévoir, car les normales forment un cône de révolution. Pour l’autre système, on a :
Atdy + dx) = (x + ty — ft )dz. Mais, pour toute courbe de la surface, on a :
ds œde + ydy — fdx — xf'dt DANSE PERS GREEN
On aura donc :
den (dy di}e— xdx — ydy + fdx + af'dt: fdx + xf'di 2 (x ty —[}e — x — y Ha + oxf xf + Lz — L(a? + xf(t)) + Le 2CtAs + LJ(E)):
Ces lignes de courbure, qui sont les trajectoires orthogonales des cercles, sont les intersections de la surface avec les sphères
x? pr - “ts 22 AE a? Le
