CHAPITRE VII

199. z étant fonction des variables indépendantes x et y, l'équa-

tion différentielle des lignes asymptotiques est :

02z d2Z ÿ2 , 0x? de? + 2 ôxdy piste ôy? dy? — 0, ou d?z — 0: S1 "AS a, 8 L dy STATE AU +8%) 0 8(8 1 GE qe)

RAT Lcibenmte. AE Ge y ( dx? + 2 ee dxdy +

on a donc o(a — 1)y*dx® + 22Bxydrdy + B(B — 1)x?dy? = 0. Soient a et b les deux valeurs — 08 EVaf(a + p— 1) B(B — 1) (xdy — aydx) (xdy — bydx) — 0.

Si MAD. ds Ly = aLx + Le, yet.

y F Les deux systèmes de lignes asymptotiques ont pour projections

sur le plan xoy les courbes :

“4 == ca, +4 —— c'x?.

Pour la surface

Les lignes asymptotiques sont les droites :

Y — C; 21 CT, et les courbes :

C Huye A Énne À Re:

160. Si la surface est représentée par trois équations donnant æ, y, z en fonction de deux paramètres u et v. Le plan tangent a pour équation

A(X — x) + B(Y — y) + C(Z — 2) — 0, où À, B, C, sont les déterminants différentiels :

— DO 2) D(z, &) __ D(&, y), be Du, v)’ LE D(u, v)’ ir Du, v

Si on pose l'identité dAdx + dBdy + dCdz — Ddu? + 2D'dudv + D'dv?

elle détermine les trois fonctions D, D’ et D' de uet v. Le rayon

de courbure R d'une section normale à la surface est donné par l'expression

VA? + B? + C? Dduw + 2D'dudu + D'dv?

R EL ds?

où ds est l'élément d’arc de la courbe de section. Les directions asymptotiques correspondent à n — 0 ; l'équation différentielle des lignes asymptotiques est :

Ddu? + 2D'dudv + D'dv? = 0.

Mais, le point x, y, z restant sur la surface, on a les identités :

Adzx + Bdy + Cdz = 0 Adx + Bd?y + Cd?z + dAdx + dBdy + dCdz = 0.

De sorte que l'équation différentielle des lignes asymptotiques peut s’écrire :

dAdæ +- dBdy + dGdz — o ou Adx + Bd?y + Cd?z — 0

ce qui donne les expressions :

Le

O2 y O2 O2 O2 gs 218 818