Sur la surface x —(1 + u)chv, y = (1 —u)shv, DT

e e —e ch u = =, sh u — —————, 2 2

si u et v sont les variables indépendantes, on a :

dx = ch vdu + (1 + u) sh vdv dy = — sh vdu + (1 — u) ch vdv (1 — u) ch vdæ — (1 + u) sh vdy + (u — ch? v — sh? v)dz = 0 (1 — u) ch vd?x — (1 +u) sh vd?y — (ch vdu — (1 — u) sh vdu)dx + — (sh vdu + (1 + u) ch vd )dy — (du — 4 ch v sh vdv)du — —= 4 sh v chududv + (1 — u*) (ch° v — sh° v)du*,

Les lignes asymptotiques, obtenues en exprimant que leur plan osculateur est tangent à la surface, ont pour équation difiérentielle | |

Ad + Bd°y + Cd —

où À, B, C sont les coefficients de l'équation du plan tangent, ou :

4 sh v ch vdudv + (1 — u*)du® — 0 l'un des systèmes, v — C, est formé de droites; pour le second système, on a :

HO ee dv dt sh pb ch a 1 A 1 Fi sh v chv\,, 1 +u RE: rich sh v h nu es 2 Pure pur LOT I Dares /ch v 1—u sh v SE sh v Mn D cle

uU

echo + ÿsho

2° Sur la surface

x — (1 + u) cos v, y — (1 — u)sinv, Ziani on à :

dx — cos vdu — (1 + u) sin vdv, dy = — sin vdu + (1 — u) cos vdv (1 — u) cos vdx + (1 + u) sin vdy + (u — cos’v + sin?v)dz = 0

(1 — u) cos vd?x + (1 + u) sin vd*y — = (cos vdu + (1 —u)sin vdv }dæ — (sin vdu +--(1 + u) cos vdv dy — — (du + 4 sin v cos vdv)du — — À sin v cos vdudv + (u? — 1)dv?

l'équation différentielle des lignes asymptotiques 4 sin v cos vdudu — {u* — 1)dv° — 0

donne v — € pour le premier système, et :

hdu HA du LA dv ÿc u?— 1 sinvcosv tg uv cos? uv L u 1 u - À ra 2 — "Lier 4, ce — cycotg v U——.u 1 0 eycos v — ÿsin v h

ce Vcos v + sin v

3° Si, dans les équations de la première surface, on change v en: vi, elles deviennent

Ps (1 + u) ch vi = (1 + 0) = (1 + à) cos

y—={i—u)shui—(i — — (1 — ujisinv

il suffirait de remplacer y par y pour retrouver les équations dela seconde surface. D'autre part, on a les lignes asymptotiques :

Leu ; PERS AR ON ésInv

et comme c est une constante arbitraire, en remplaçant c par c4/i

on retrouve les lignes asymptotiques de la seconde surface. Ces deux surfaces se correspondent, à la valeur vi correspond le point ima-

inai z: del iè le point réelæ, =, z del d ginaire æ, y, z de la première, et le point réel x, DZ de la seconde,

l'équation entre u et v qui représente les lignes asymptotiques est la même, pour les deux surfaces, v et c étant réels pour l’une, imaginaires pour l’autre.

175. Soit z — f(x), y — 0 l'équation de la méridienne de la surface de révolution autour de oz. est l'angle de la tangente à cette courbe avec 0z

La normale à la coupe méridienne (Z— 12 +X—x—o coupe l'axe au point - TL AO" LI +, Z le rayon de courbure R, est la longueur de cette normale T res le RAS SA TPLE

R: est le rayon de courbure de la courbe méridienne

On a ainsi :

on en déduit une relation entre x et w, ou une relation différentielle

dz ‘ m entre etæ. Si f(p) = 5 DR

ee sin ode ve

Lx =[ is FRONT L(cos & — m) + Le

L(COS 6 == m) — €, Brie QE SIN Ra

Va? — (e + mx)?

Cc + ma(i — m?) — cm?

RE — dæ.

1 — m°) Vat(i — m°) — 2cmx — €

Pa o] SU er

fre s Va — (ec + mx) + 1 — m C cm x? — (c + mx) Ne PR RER (1 — mi — m° Hu nn À DUT el m en —————— € . A(M—1)+cm RS VER? — (0 + mr) — ——— arc sin Re Pt LEA (m?—1) y m?— 1 cÿam? — 1 Sim C+ æ L 2C, /2X + c Les si Er 5 v Rene V— (ax + c) pe AE Si m —

chaïnette. On peut supposer “ LS c — — cLe, pa (ane ;