La normale a pour équations

X—x Y—y Z—ytgxz

yG His) tgæx — 1 :

à chaque valeur de u correspond un point de la normale. Le centre de courbure est le point d’intersection de deux normales infiniment voisines, que l’on peut obtenir en faisant varier x, y, u de façon que dX, dY, dZ soient nuls :

/ 4 auy udy + ydu Ne M EST ( Co Huy ) PUS ir

u COS? x

de + dy + tg «du = 0

ydzx Cost T

+ tg «dy — du = 0.

En éliminant dx, dy, du, on à :

cos? æ + 2uy Îg %, u, s; u, cos? #, COPAINS DL =10 y cos? œigæx, — cos? x

u — y? + cos° x

à chaque valeur u — + y}? + cos’ x correspond un centre de courbure X, Y, Z; les rayons de courbure sont égaux, et de sens contraires,

R— n\/(1 gt à) (Abe

2 2 re = \1\ + a .

COS” æ COS”

2° Sur la surface, on a :

ydæ dz = ——- + to xd cos? æ A odædy sin x dz = —- 2Y —— dx cos? x cos? æ

L'équation différentielle des lignes asymptotiques est : dx(dy + y tg xdx) — 0.

Le premier système est formé des génératrices LESC 2 —= Y t@ C.

Pour le second système, On a :

SIN x y COS æ

BASE COS RE NLE,\. P Co

Fagrx. — Anal. 19

3° Si le point M{x, y, z) décrit la courbe y — € cosx, z —csinx on au #y1 + cos æ, les centres de courbure principaux sont : X—x—+evi + ec, Y — c cos x + Vi + c? sin Z —=c.sinx = Vi + c'cosx.

Ils décrivent deux hélices situées sur le cylindre de révolution Y2 + Z8— 1 + 207.

En faisant tourner les axes autour de oX d’un angle &, tel que

cos a ; sin = LRNaee ne AO 4 — rep AC becs Mi La et déplaçant l'origine sur oX, de Æ cÿ1 + c*,on ramène les équations de cette courbe à la forme :

Ê en iZ ie 2 HER ee :

Ye EE = Vi 208 cos X:

HYViLe + eZ ie

dis cie : — — 1 + 2e? sin X, VE 26

A MA ec Var OUEST; Un arc de cette hélice est s—Wo(r + ©) (x — x).

Si M décrit une génératrice de la surface, x reste constant. On a les centres de courbure :

x + 2Y cos? x

X Vy* + cos? x

Y= y —ÆEtgz Vy + co x L—= year vy4 608 x,

En faisant tourner les axes de l'angle constant x, autour de oX, et déplaçant l'origine sur oX, on a :

Y, = Y cos æ + Z'sin z — Y

COS æ L'HPREERERES Zi —=— Ysin x + /Zcos x = + Vy? + cos x COS æ XX —r— HT 2 + cos? x : RE T

Yi— 7/2 +1—=o, Yi + Xi 0 courbe du quatrième ordre,

4° Sur cette courbe, si y varie, x restant conslant, on a :

x CLÉ ÿ k # dy 1 Ge ét (#5 LR Ace Vy2 + cos? à cos? æ

/ rs to d ; a=(ie TES) à a =(ser 1) Vy? + cos? x \ Vy? + cos?

dei AN NA MAN A7 NN TT ENN PET

cost x s Vas 8. ; 47 + cos A fi se Vay? + cos? x (1 2 rs CO ZX Ti Dies æ 7 ee L(y V2 + V2y? + cos? + cos? x x) —+- C.

177. Les rayons de courbure principaux R, R1 sont donnés par l'équation :

(ris )R2— 1 pq {fa pt)t—-2pqs+ (1 +R + (1 +p?--q°)—0 p=f@) go) r=f@) 0 ty)

COS NE tn he An cotg 4 — AU AL à cotg Ê — ARÉRUr PE Vi + q Vip 2 2 (R +R) cosy = TP + Le 2 L 1 ee JE 2 A comme - est une fonction de x, 7 + une fonction de y,

leur somme ne peut être constante, que si ces deux fonctions sont constantes :

AMOR Le Polo) de

— b, k GE VAN GC) it a arctgf'(x)—axz+A, f(x)—=tg(axz+ A), fe)=—5 L cos (ax+ A)

0) = — ;; L cos (by + B) 2 = — L cos (ax + À) — L cos (by + B).

20 p—tg(ar+-A), q=te(by +B), " cos(ax + À)? cosy EE)

pére | ] 1 RE Ce Re RyI Ep (+) +. le = O

(R — R;) cos y —

lait (1+tg* ax+AÀ)+te*(by+B))cos?{ax+A)cos?(by+B)

=/ ER ) +4 sin?(ar + A)sin?(hy+B)

PET PS Meur Aa ta. Aus Pr tui ® © sin (ax + A) sin (by + B)

Le produit (R — R;,) cos "y ig & te {5 est constant si a — b. En déplaçant l'origine des coordonnées, on peut ramener l'équation de la surface à la forme :

Sly À Hs L(cos ax cos ay).

3° Pour cette surface, on a :

p = îig ax, q = Îg ay.

L'équation différentielle des lignes de courbure est :

dx + pdz dy + qdz

dp a dq dx | dy ( dy dx fe ax ns IS dy) cos ay \cos? ay Ja Hauhi:1 4 dx) cos? ax dé de cos? ay Cos? ax dy Due dx COS ay cos ax dy Pr on m4 2 T — 24Y FT — 90 T — 20% T — 24% 2 18 — "© co — "7% 2 9 "7" cos DER î AT: ñ

On a les deux systèmes de lignes de courbure : tre BUY TE 207 424 to AE D tg + a C.

Les rayons de courbure se déduisent des relations :

2 2 Sin ax sin a : R AR SAS ENT & COS Y a COS Y

178. La surface enveloppe est déterminée par les deux équations :

Gerry fa) Mn a qe (y f(a)) fa) = 0:

Pour chaque valeur de a, elles représentent un cercle de centre DU Je f(a); 4-74 0

et de rayon 1. Le plan du cercle reste perpendiculaire à la courbe, lieu du centre, qui a pour équations

HO AIT = ft)

C'est une surface canal. Si a reste constant, les normales à la surface aux points du cercle, qui sont aussi normales à la sphère, restent dans le plan du cercle. Ces cercles forment un système de lignes de courbure.

2° En un point M(x, y, z) de la surface, la normale est la droite qui joint ce point au centre C du cercle (1), MC = 1, si y est l'angle de la normale avec oz, on a cos y — z. Si z reste constant les normales forment un angle constant avec le plan de la section, il en résulte que les courbes z — c sont des lignes de courbure. Pour ces courbes, on a, en eflet :

dz = pdx + qdy = 0, M Dh CEE D pdp + qdq = 0 et l'équation des lignes de courbure dx + pdz dy + qdz Lie HN QUE est vérifiée. Les projections de ces courbes sont des courbes parallèles à la courbe lieu des centres, obtenues en portant sur les nor-

males une longueur constante, égale à V1 — À.

3° En un point de la surface S, l’un des centres de courbure est le centre C (a, f{a), o) du cercle (1). Si, par l’autre centre de courbure principal, on abaisse une perpendiculaire sur le plan Z — z, le pied de cette perpendiculaire est le centre de courbure de la section. Cette droite passe donc aussi par le centre de courbure de la courbe parallèle, lieu du point C. Le second centre de courbure principal est donc l'intersection de la normale MC avec la parallèle à oz menée par le centre de courbure, en G, de la courbe plane, lieu du

point C.

179. L’enveloppe de la sphère ax}? + (2? + y? + 2? — a°)] + 2ay — 0

s'obtient en exprimant que cette équation en À a deux racines égales :

(1) (a? + y? + 22 — a Ÿ — Bn?xy.

Pour avoir l'enveloppe de la sphère a? + y? + 2? + a? — oa(x + ÿ) COS pu + 2az Sin on formera la dérivée par rapport à pr

(x + y) sin H — 2 cos {x

sin COSp a+ y? +7 +

l'élimination de 1. donne la surface enveloppe (re? + y? + 2 + a)? = Aa(e? + x? + y? + 2xy).

Pour reconnaître qu'elle est identique à l'équation (1), 1l suflit d'ordonner par rapport à a?. Les lignes de courbure sont les cercles, intersection de deux sphères infiniment voisines, dans chacun des systèmes de sphères. Car les normales aux divers points de ces cercles sont normales à la sphère, et forment un cône de révolution. On a ainsi les deux systèmes de cercles :

es) a + y + 2 + oakx — a — 0 s vd L'hen cou 2 (& +,ÿ) ig de, x° + y + 2 + a? = 24 A A COS 1

Les centres de courbure principaux, intersections des normales infiniment voisines aux points d’une ligne de courbure, sont les centres des deux sphères :

«À a TE = — ZE — — Z at Y y'a

et

Dee N'COS L y — a Cos k, Z'="G'sin À

où À et 12 sont des fonctions des coordonnées d’un point de la surface. Le premier centre de courbure décrit l'hyperbole