CR RAT TT

L'équation différentielle des lignes de courbure est :

dx + pdx __ dy + qdz FAN AE

— (in) + d'u) + 8(9)) sin udu + (4(9 + 29) cos ude

— sin uv'{z)du — cos uy’(z)dz

(Yu) ke L'(u) SA e(2)) cos udu +- (4) Ps 7) sin udz

cos uv'(z)du — sin ug"(z)dz qui se réduit à (Yu) + Vu) + 9(2))8"(2) + 1 + g'(z)*ldudz = 0. Les lignes de courbure sont les courbes u = c, z = c'. Ge résultat peut aussi se déduire des équations de la normale :

X—x Y—y ZL—7z cosu sinu —w{2) Siz— €, la normale aux points de la section forme, avec 02,

un angle constant, dont le cosinus est

Vi + 922)

Il en résulte que ces courbes planes sont des lignes de courbure. Les projections de ces courbes sur le plan xoy sont des courbes parallèles. La surface est engendrée par ces courbes parallèles assujetties à rencontrer une courbe qui peut être arbitraire.

Siu— c, on a une courbe plane

æ cos u + y sin u — Vu) + ?(+) y cosu — x sin u — Y(u)

les normales aux points de cette courbe sont situées dans son plan, c’est donc une ligne de courbure. Lorsque uw varie, le plan de cette courbe se déplace en restant tangent à un cylindre parallèle à l'axe 0z ; chaque point de la courbe, correspondant à une valeur de z, décrit une section droite de ce cylindre. La surface est aussi engendrée par une courbe plane, dont le plan roule, sans glisser, sur un cylindre; c'est donc une surface moulure.

Lorsque z reste constant, le point de la surface décrit une courbe dont le centre de courbure a pour coordonnées

X——V{u)sinu—'{u)cosu, Y—%'(u)cosu—%'{u)sinu, Z—z

ce point est, d’après le théorème de Meusnier, la projection, sur le plan de la section, du centre de courbure de la surface situé sur la normale, et qui est ainsi déterminé par les relations ;

Mir), Need Zi ter L/ COSU sinu AN CU — Ÿ(u)

L'autre centre de courbure principal est le centre de courbure:

de la section plane u — c, qui est donné par les équations :

X—x Y—y Z—z 1+9%(2) cosu sinu —%(z) (2)