Sur cette surface, on a

dx — cos u sin vdu + sin u cos vdv

dy — cos u cos vdu — sin u sin vdv

dz — She du + f'(v)dv

sin u dx, cos u sin v, sin u COS V dy, cosucosv, —sinusinv| à cos? u ; dz, ———— , f'(v) sin u

(cos vf'(v) + cos u sin v}dæ + (— sin vf'{v) + cos u cos v) dy — — sin udz = 0.

La normale a pour équations :

X — x ou Y— y __ Z—3z cos vf'(v) + cos u sin vu — sin vf'(v) + cos u cos v — sin u.

En représentant par À, B, C les dénominateurs, l'équation difié-rentielle des lignes de courbure peut se mettre sous la forme :

À. dA, dæ PNB RUE" CUT, Pr , cosuf+cosusinv, (f"+cosu)cosudu—f"sinvdv—sinusinvdu, cosusinvdu+- +-sin u cos vd —sinvf'+-cosucosv, —(f'+cosu)sinvdu-/f'cosudu—sinucosvdu, cosucosvdu—| —sin u sin vdv : cos’u —sinu, --- cosudu, — du+f'dv sin u

Si on multiplie les éléments de la première colonne par f’{v)dv, de la seconde par cos u, de la troisième par sin u, et si on ajoute, on obtient, pour les trois lignes :

(1 + f? + f' cos u) cos vdv, — (1 + f? + f' cos u) sin vdv, o.

On peut donc remplacer les éléments de la dernière colonne par cos vdv, — sin vdv, o, et l'équation des lignes de courbure de-

vient :

cosusinv, (f'dv + sin udu) sin v, cosv | du | cosucosv, (f'du + sin udu) cosv, —snv|—o — sin u, cos udu, 0 dv(du + f'(v) sin udv) — o.

Le premier système v — cest formé de courbes planes «,

y = æ cotg v. Ce résultat peut s’obtenir en remarquant que la normale à la surface forme avec le plan æ cos v — y sin v — o un angle 4 dont le cosinus est

he pe ut to ax — f'( n COS à F4 Pop cotg a —= f'(v)

angle qui est constant pour les courbes planes v = c.

Le second système de lignes de courbure c: est déterminé par la relation :

a + f'(v)dv — 0

JU) + Lig=—e, z=—=C+cosu cette courbe est située sur la sphère EH PE ze cp = 7.

L'angle & sera constant si f'(v) = cotga, f(v) — v coig a + c’.

Les courbes c: sont alors définies par l'équation : vootgz+Lty =

ou