La normale a pour équations
NEC 7 Y— y Z — 7
AP FOOT EN OR En PE Pl 2 UT: gi si z) y(æ 24) za
Elle coupe le plan Z — o au point :
qui décrit la parabole
Nef X).
Et le plan Ÿ — o, au point :
L cc? 1 hye az? ; 242 x LR EE rt — x(2a — x) (2a — x)? 24 — &
qui décrit la parabole LE UAUN Par chacun des points de ces deux courbes passent une infinité de normales situées sur un cône, les pieds de ces normales sont donc sur une ligne de courbure. La normale au point (x, y, 2) passe par le point X — ai — E), MARRON TE LE 0 de la première parabole si l'on a :
LUN 0 x? + y? + 2? = oax(1 + l?)
ces lignes de courbure sont des cercles, dans des plans passant par oz.
La normale passe par le point
X — al Z — sal, Y—o
de la seconde parabole, si l'on a :
al ar 1 Nr Sal= y? end ft 27 mn? EART FE y? — Px(2a — x) — x?, z — l(2a — x)
ces lignes de courbure sont aussi des cercles, dont les plans passent par la droite x — 2a, z — o.
On peut aussi obtenir ces résultats en remarquant que la surface S est l'enveloppe de chacun des deux systèmes de sphères :
x? + we —b- z? ar + 24A2(1 = l) SE. 4aly 2? + y? + 2? — oaxl + halz — a.
Les lignes de courbure sont les cercles caractéristiques, intersections de deux sphères infiniment voisines. 184. Sur la surface S, on a :
de = S(1 +-v? — u?)du + Guvdv, dy —=— Guvdu + 3(v°? — u? — 1)dv
dz = G(udu — vdv)
dt T + vu? — u?, au dy, — JU, v'—u?—-1|—0o 7, AU, — 2V
ou, en divisant par 1 + u* + v?, 2(udx + vdy) + (u? + v? — 1)dz — 0.
Le plan tangent a pour équation : auX + o0YŸ + (nu? + 0? — 1)2 — (u? — v°) (3 + u? + v?).
2° Si u—c, ce plan tangent enveloppe une surface développable, dont on aura l'arrête de rebroussement en prenant deux fois les dérivées par rapport à v.
ME AIS = OUR 201 ZL = — 3 — Gr.
Cette courbe est du quatrième ordre, on peut la représenter par les équations :
!e 2 .3 L' LV Z=—3—6wù, Y—4, UOTE CUP en U'rdt à
où v est seul variable
Si on permutte u et v, æ se change en — y, y en — xet zen — 2. De sorte que, siv — c, le plan tangent enveloppe une surface dont l’arête de rebroussement est :
LA
AOPQE, u+u" 2v
RRQ NS LE LS Pt ARE Pr
où u est seul variable.
3° Sur la surface $, si u et v sont variables indépendantes, aux + avd?y + (u? + v? — 1)d?z — — 2(dudx + dvdy) — — odz(udu + vdv).
L'équation différentielle des lignes asymptotiques est : dudx + dudy —- (udu -- vdv)dz = 0 (1 + v? + u?) (du? — du?) = 0 er me US Si on pose U + VU — 2%, U— V0 — 928.
Les équations de la surface deviennent :
D == (a + B) (3 202 + 26? — 8uf) y = (B — 5) (B-+ 2? + af? + Baf) Zap Les lignes asymptotiques, obtenues en supposant # ou {5 cons-
tant, sont des cubiques.
4° Les cosinus directeurs de la normale étant proportionnels à
Qu au, u + uv — 7,
l'équation différentielle des lignes de courbure est :
dx, ou, du dy, av, dv 0 dr, 0° + 014, udu- vdv
Si on remplace dx, dy, dz en fonction de u et v, les coefficients de du” et dv* sont :
I + v? — w?, au, I 9 — uv, 2v, al" #=,0, | au, + VU — 1, UV, au 0 SV — u — 7, av, 1 | — 0.
ie Di U + 0? — I, v
L'équation des lignes de courbure se réduit à dudv — 0, U— €, v — c’,
ces courbes sont des cubiques.
5° Un point de la normale peut se représenter par les expressions :
— u + Suv? + Su + aut = 0} — Suu? — 3v + aul = Ju? — Ju? + (u? + uv? — 14.
NS
Si u reste constant, le point (u, v) décrit une ligne de courbure, le centre de courbure correspondant s'obtient en exprimant que
dX = dY = dZ = o.
Suvdv + udt = 0 3(0? — uw? — 1)dv + 24dv + ovdt — 0 — Gvdv + avidv + (u? + v? — r)dt — 0.
ces trois équations se réduisent à deux :
3vdu + dt — 0, = ti + u? + v?) à cette valeur de { correspond le centre de courbure :
X — x + Su(i + u° + v°) Y— y + 3u(1 + u° + v°)
EEE ne (u? + uv? — 1)(1 + u* + v?) et le rayon de courbure
Re
