CHAPITRE VII

192. L'enveloppe du plan P est une surface développable définie pard'équation du plan P et:sa dérivée par rapport au paramètre u :

18u°x + y — Guz — Ju*

Gux — z — ou.

En prenant encore la dérivée, on a x — u?, ces trois équations déterminent l’arête de rebroussement

mr=M?, y —=@qu*, 2. du Sur cette courbe, ‘on a :

dx — oudu, dy — 36udu, z— au"du ds — oudu V1 + 360" + 18°u* — (1 + 18u?)oudu

les cosinus directeurs de la tangente sont :

je 1 MUeLTBU RS Gu PME roue FIPHERTONR" NN ETOT a + b— 1, la tangente forme ‘un angle constant avec la droite z — 0, æ —7y; la courbe est une hélice tracée sur un cylindre

parallèle à cette droite.

Une génératrice de la surface développable a pour équations :

T Y+qu* z4+ 20° Me DR DR à 7 7 - On \ où u est constant.

Une courbe tracée sur la surface sera représentée par

y = 18u°x — qu". z = Gux — ou où u et æ& sont variables.

dy = a8u°de + 36u(x — u°)du, dz — Gadr -+ 6(x — u)da

celte courbe est perpendiculaire à la génératrice en un point (u, x} ie |

dx + 18u°dy + Gudz

(1 + 18u°)dx + 36u(x — u°) (1 + 18u*)du

(1 + 18u°)dx + 36u{x — u*)du

de — 36udu + 18(u’dx + 2rudu)

æ — Qu' + 10u°x

| COQ RrOM OT CO

cette courbe, trajectoire orthogonale des génératrices, est définie par les équations :

c + qu* 18cu? — qu“ Gcu — au + 18u° PE PRE EYE LE : 1 sm re ARMES Ye ; M —— MTS LP »7 à D J'N — 1'=H+ LOU 1 180 1-00

où u est un paramètre variable. Elle est dans le plan & + y — c, perpendiculaire aux génératrices du cylindre.

193. Une droite passant par un point de la parabole, et formant l'angle & avec oz, a des équations de la forme :

: + 5 Nes ) 2 PNA Fret HUE 4 sin 4 Cost sinasint{ cos x

cette droite engendrera une surface, si y est une fonction de {. On peut écrire ces équalions :

: de | X =: + Zigacos!

) 2p Y—y+Zigasinit

(1) ; 2 v cette surface réglée sera développable si les coeflicients Ru et

tg à cos {, tg & sin {, ont leurs dérivées, par rapport à {, proportionnelles :

\ X=Ét#t+7 tg x cos L | Y=—ptigt+ Zigasint.

S1 {reste constant, dans les équations (1), y étant seul variable, la droite (1) engendre le cylindre parabolique 0 1, P Ï

(Y — Z sin ltog a) — 2p(X — Z cos ltg >).

On aura l'enveloppe de ces cylindres en formant la dérivée par rapport à /, et l'on obtient deux équations équivalentes au sys-

tème (2), qui représente la surface développable S, enveloppe des cylindres.

Les génératrices (2), où { est constant, forment un système de lignes de courbure.

Le plan tangent en un point de la surface développable (2), qui est aussi tangent au cylindre parabolique, a pour équation :

(X — x) cost ! + (Y — y)sint—(Z—z)tga—o.

Il forme avec le plan XOY un angle constant : — 4. Il en résulte

que les sections planes Z— c sont des lignes de courbure. Car, pour ces courbes, on a :

dz = pdx + qdy = 0, p° + qŸ —= cotg* a, pdp + qdq = 0. L’équation différentielle des lignes de courbure

dx + pdz dy + qdz AL ONE ET ETS est vérifiée.