CE
dX = — e* a(4 + a?) cos «da
dY = — e* a(f + a?) sin xdr, dA= — e * a(f + 2?),.
Il en résulte que la tangente à cette courbe forme avez oz un angle égal à : . L’arête de rebroussement est une hélice, tracée sur un cylindre parallèle à oz.
2° La normale en un point de ia surface a pour équations
KT Ne Pre
“cCosa sim« tr
ses cosinus directeurs sont
La relation
dz — cos xdx + sin «dy
donne, pour les dérivées partielles de: z :
P —= cos à, Je 0e
où +, de même que z, est fonction de x et y, donnée par la relation:
ÿ COS & — x sin a — ae * a cos ady — sin «dx = [y sin x + x cos à + e ? (1 + 4?)]da —
—.{à + e° (2 “su 2?) da.
Les dérivées secondes de z, par rapport à æ?, xy, y?, sont :
pes dp y PR dx AM sin? à Jus PONT OMAN ETS z + (2 + ae?
dp 3 da Sin % COS à S—=-- == — S]n D RE Et PT ETES AN ET dy dy a?
z + (2+ a?)e * dq dx cos? x l= 2 —COSAa -— — ——— — dy dy a?
z + (2 -+ Je
Elles vérifient l'équation différentielle, ré — s?, des surfaces développables. La relation g = f(p), qui ici se réduit à PP + gr, conduit au même résultat.
3° L’équation différentielle des lignes de courbure
(de + pdz)dq = (dy + qde)dp:
devient :
(dx +- cos xd) cos ada + (dy + sin «dz) sin #d4 — o
et se réduit à odzda —= 0.
Les lignes de courbure sont les génératrices & — ce, et les sections. planes.z — c.
Les rayons de courbure principaux sont donnés par l'équation : GREC -p) apps ag) VTFPET TER + (ip io comme rl — s°, le rayon de courbure correspondant à la direction de la génératrice est infini, l’autre est :
Kaeve L. + (2 + na)
199. dx — cos wd? — p sin wdw, dy = sin wd; + b cos wdw pd — cos wdy — sin wdæ, d> — sin wdy + cos wdx
g'(e)dz=adu+-f'(o)de == (cos wdy— sin wdz)+f'(e)(sinwdy+coswdz),
La normale au point (5, w) de la surface, a pour équations : X—x Y—y Z—7z
P q er À
pz'(z\ = f'(e) cos w — > sin &w
q2'(e) = fe) sin & + Ÿ cos vw.
Les coordonnées du point n sont, dans le plan xoy : À ==i% + pr, Viry Tr celles de mn sont, (x, y).
L’aire du triangle omn est az
: av + HN 2 (zY— yX) F 9 (gæ Py) 2%/(7)
Pour qu'elle soit proportionnelle à z, il faut que z'(z) soit constant o
@=br—e), 2=iuo+e+ fe).
Mais on peut supposer b -— 1, a étant une constante arbitraire, et f(p) une fonction quelconque.
2° Sio(z) —z, ona:
dz — adw + f'(e)ds, p°do — xdy — ydx, pd> = «dx + ydy
Si x et y sont variables indépendantes,
CL 0, yen pd?w — — 2pdpdw, pp = dx? + dy? — d°? = £?dw?
de = ado + JE + JE = ef (Du — EE dede + J'(de.
En égalant dz à zéro, on a l'équation différentielle des lignes asymptotiques
En tout point d'une surface développable les directions asymptotiques sont confondues, ce qui donne la condition :
1 9 MON ES PES Ni TE
TT —5; ser SE) = ve? — à + a arc sin PA b.
On arriverait au même résultat en exprimant que p est fonction de g, où qu'en éliminant w entre les expressions de p et q la relation
: : | a ne doit plus contenir °; de sorte que f"? + > est constant.
3° La surface développable est représentée par les équations Din COS 0! YŸ = P Sin w
D 0 n° ) z — aw + Vc?o — d + a arc sin = + b \ i
a? ane p=\/e —% cos0 — € sin w p? 0
ur à AN, a Der C* — — Sin W + - COS w p° ?
Posons D — 0 cos x, q = cCsin x
. L a c sin (4 — w) — q COS & — p sin ù — - P
e RC = W "arc SIN —* C2
L’équation du plan tangent, pX + qYŸ — Z = px + qy — 2, devient :
eXcosa+cYsina—Z—cocos(a—w)—2— Yep? —a—7—— ax — b. La surface, enveloppe de ce plan, s'obtient en prenant la dérivée : (2) cX sin 4 —- cYŸ (08 4 — a.
Fasrr. — Anal, 21
Ces deux équations, qui représentent une génératrice lorsque z est constant, peuvent s'écrire :
COS « Sin «&
c\ — a sin « cYŸ + a cos x PR ae crue es Gr Rae CE MS EL M 248 Sn
elles sont équivalentes aux équations (1), où w est remplacé en
fonction de &, et 5 — Va? + y?. Cette génératrice forme avec oz
| un angle dont le cosinus est er et dont la cotangente est c. Vi +e
Le plan (2) passe par la génératrice, 1l est parallèle à oz. La plus courte distance des deux droites, distance de o au plan (2}, est égale à æ quantité constante. L’arête de rebroussement de la surface est l'hélice
R ; a X— =sin a, Ÿ=— cos «, Z = aa + b.
