P — 3 ANTON CE AN NON
yzdz = — axde — Bydy ax? ie By? xs V2É — Ç
Par tout point de l'espace passe une surface de ce système, et la normale en ce point a ses cosinus directeurs proportionnels à on, BY, "yz.
2° En exprimant que la courbe (1) rencontre une courbe D, on aura une relation entre c et c’, et en éliminant c et c’ on aura l'équation de la surface $ engendrée. Soit la droite D :
W=='a2 tp, y=bz+q.
La courbe (1) rencontre cette droite si, pour une valeur z — {, on à :
‘a Ô at+p= cl, bt+q—cit si on exprime c et c’ en fonction de {, la surface $ sera représentée par les équations :
IR
x = (at + p) (7) HO y = (TE q) (?)
ou, en posant z — {61 : (æ& = a8 T7 + p0° ly POP AE qé° La surface S est engendrée par ces droites, lorsque Ÿ varie. Elle
est développable si les dérivées, par rapport à Ÿ, des quatre coefficients, sont proportionnelles.
QC en ae ES PaUT el HO NE ARNNE er
RD a(B — y)b pau nv f(a — yja:
Ps]
Les équations de la droite D peuvent se mettre sous la forme
(æ— az + aj(a — yje y = br + ba(p — vJe
a, b, c pouvant être arbitraires, ces droites forment un complexe du second degré. La droite
x = a0% Ÿz + acf(a — y)0* == DO TZ + bea(s — +30?
engendre une surface développable, lorsque 9 varie. En prenant les. dérivées par rapport à Ÿ, on a deux relations équivalentes,
z + caB0 —0.
L'arète de rebroussement est ainsi représentée par les équations : x —= — act”, Y = — bexy0, z — — cap,
3° Soit la courbe directrice D, représentée par les équations : : Ë x — az, = bzŸ.
La courbe (1) rencontre cette directrice, pour z — #, si l’on a : AE VA tte alt Vo Cle BIT
En éliminant c, c’ et {entre ces deux équations et les équations (1), on a l'équation de la surface S :
Cher TP —RT JyAeT TE aÿ"— po (2) su LA (2) z B :
Cette surface est également engendrée par les courbes = ï æ = ci, y=c2T,
où cet c’ sont liés par la relation
e\YË—ET ( ay — Ya (GRR) Te re
de sorte que ces courbes rencontrent la courbe directrice
au point déterminé par ET ME DUTY rer E JT.
L'équation (2) de la*surface S peut s’écrire
« À 8 — $ ! 4v! —— vou NME es A où À = Lg En BU z 27 j 2 2 2 NP Gr == (<) —1(®) NÉS z x y : z x y
L'équation diflérentielle des lignes asymptotiques est :
dx dy \? . jdx\? APT CR EN ASE
2 Jay \ 2 A(A — 1) (+ + oÂu (er) +- u(u — 1) (Ÿ) — O0
dy dx — }u + Vu + p — 1)
Y x m(H — 1) Soit MAT nr —An E Vau(i+p—i1) dE CR NA TT CE ARE “ v HAE — 1)
on a les lignes asymptotiques == 20, 2 — han TPE,
Si cet k sont deux paramètres variables, on a le système de lignes asymptotiques des surfaces (3), ces courbes vérifient les équations :
