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z pye (+ ph)z et sont orthogonales au système de surfaces
a? + py} + Q + pu) = c.
La surface (3) et la surface
Az? + By + C2 — c sont orthogonales, en un point commun (x, y, z), si leurs normales,
Ax By z À m AE"
sont perpendiculaires, ou si Aù + Bu — C— oo.
La surface (3) est donc orthogonale à toutes les surfaces Az? + By? + (AA + Bu}? — c
où les rapports de À, B, c sont deux paramètres arbitraires.
199. Les droites passant par un point (x, y, z) sont déterminées par les valeurs de p et £ :
p=x—t, L — 32 + 3(xz — y) — 0.
Il y aura 3 valeurs de {, et 3 droites, réelles, si he — 9(es — y} > 0 ; ARE ; : 2 c'est-à-dire si y est compris entre les deux valeurs æz =£ à 23. 2° Si p est fonction de f{, la droite a une enveloppe, et reste : | t tangente à une courbe, si les coeflicients, {, p et p, go ont leurs
dérivées proportionnelles :
CAEN Mt EEE PA RC Lt ANNE RE ra qe Soit la droite :
{* te L° De re NE SE ECC EE NS
L'arête de rebroussement est le lieu des points d’intersection de deux droites infiniment voisines
z —= — |E, xm—=c——{Ût, DR trHenEe
c'est une cubique.
La trace de la droite sur le plan xoy est le point : L?
Z — 0, FE NEO VER qui décrit la courbe 97? —= 8t(x — c)*,
En éliminant {, on a les équations de l'arête de rebroussement
rer * 72 PIE UE T—=C-— 12 2e 2".
En éliminant c, on a le lieu de ces courbes TZ — ÿ + 3 ét 0
ou SOA À er es mA LA 200. La courbe sera déterminée par les équations Y = x", LE SE Le plan osculateur ), Y: 0 Ne One OUEN AR ERP EE RES 0 Le 2 AR 2°
passera par le point P(0, y, o), projection de M sur 0, si l’on a :
L, 14 0 | 0, æ n— 1 | — 0 7: 2!, à g?2"— (n — 1) (xz! — :) — 0.
Cette équation différentielle a des solutions de la forme X— 1 ou
2%, fa — 1)—(n—1)(t— 1) —=o,
La solution générale est AT A CS MS one A 0
La droite MP à pour équations :
Z = X(axv—? + b).
Elle engendre la surface
Sur cette surface, on a :
se) Eee AR ELLE JaX La XY "dy
dir= (, + aY
Br A RENE) CES % dY)dY.
dZ — 2a
L'équation différentielle des lignes asymptotiques est :
Les lignes asymptotiques sont les génératrices
et les courbes :
Ye" cAn, Z—=5@X Han * Xe,
