Le paraboloïde a pour équation
re Nr Nr teRe 07 P q Le plan tangent a pour équation :
(1) aÀ(æ cos ® + y sin &) — z — 2}?(p cos? & + q sin? ©).
Il forme, avec le plan xoy, un angle r},
Pour que cet angle soit constant, il faut que À soit constant. 2° Si À est constant, le plan tangent enveloppe une surface dont la génératrice est déterminée par l'équation (1), et sa dérivée — æ Sin ® + y COS ? — 2À(q — p) sin y cos ».
L'arête de rebroussement s'obtient en prenant une seconde fois la dérivée æ cos © + y sin ® — 2À(p — q)(cos* © — sine) ces trois équations donnent :
æ — 2À(p — q) cos’ & (2) y = 2À(q — p) sine z = p— q + 3(p— q) cos 26] La génératrice a pour équations
Fi D } Gen Y— y FAR"
pue + ,
cos © she 2À ù À elle forme avec oz un angle dont le cosinus est =. 1 Vi +4
3° Un point de la développable À, ou un point de la tangente à la courbe (2), est représenté, en fonction des deux paramètres o et {, par les expressions :
æ — 2À(p — q) cos? © + cos © y = 2À(q — p) sin*o + {sin ?
2 = (— p — q + 3(p — q) cos 29) + 2
SURFACES RÉGLÉES 331 ce point décrit une courbe normale à la génératrice, si l’on a : cos © dx + sin © dy + ad: = 0 ou, en remplaçant dx et dy en fonction de » et £ : — GÀ(p — q) sin © cos © do + dt + 2kdz — 0
bc — 22 — © Xp — q) cos 20
Ô LAC D) COS 2® + € on à la courbe :
m = À(q — p) cos’ ? + (BI +- €) cos ©
3 = À(p — q) sinÿ © + (3X IE + c) sin ?
z = 2kce — }(p + q)
située dans un plan parallèle à xoy. La projection sur le plan xoy est définie par les deux premières équations, qui donnent :
dx | — dy — (c+ 3 AE Eos 29)de.
— sin Cosv 2
La normale à cette courbe a pour équation :
— X sing + Ÿ cos ? — 2À(q — p) sin y cos
projection de la génératrice, tangente à l’arête de rebroussement.
202. 1° Les cônes ayant leur sommet sur l’une des paraboles, et l'autre parabole pour base, répondent à la question.
2° Soit À un point de la première parabole, B un point de la seconde. Si la droite AB engendre, en se déplaçant, une surface développable, le plan tangent le long de AB contiendra les tangentes en À et B aux deux paraboles, et ces tangentes, étant dans un même plan, devront couper oz au même point ; soit z — { ce point. La tangente à la première parabole à pour équations :
