SALE

Visio) Z(z — a) — pX =” F

po

Elle coupe oz au point Z = 1! — La tangente, qui passe par le point (0, o, {) de l’axe oz, a pour équation

2(2 — D (t— a) = pÂ

le point de contact a pour coordonnées z = 21 — a,

LL = ) — 2P P De même, la tangente à la seconde parabole, qui coupe oz au même point, a pour équations :

X—0, 2{Z—+t)(t—b) — qY

son point de contact a pour coordonnées :

Ge — by

Tes 10 z— A — b, 2 Ù 3 q Le plan qui passe par ces deux tangentes a pour équation :

NUE PAUR D qY A D A te Pre Lorsque { varie, l'enveloppe de ce plan est la surface dévelop pable S. En prenant la dérivée par rapport à {, on a l'intersection des deux plans infiniment voisins, génératrice de la surface. X qŸ

P: A Gay |

On peut vérifier que la droite définie par ces deux équations passe par les deux points de contact des tangentes aux deux paraboles.

Pour avoir l’arête de rebroussement de la surface, il faut prendre une seconde fois la dérivée

DX u TEL Cr

En résolvant ces trois équations par rapport à x, y, z, on a les coordonnées du point M de l’arête de rebroussement, dont le plan osculateur est le plan mobile, qui passe par le point P(0, o, t). On a ainsi :

p\ qY (ENORME 0) EC t—a b—t b—a . 2(t— a) 7 __ 2(t — b des DE Dee eh Z—=3— a — b.

Le plan osculateur est le plan mobile

3° Ce plan coupe le plan xoy suivant la droite | px % (il

Pour avoir le point N où cette droite touche son enveloppe, point d'intersection de deux droites infiniment voisines, il faut prendre la dérivée par rapport à 4

px (his)

qY

Em?

ces deux équations donnent :

RNA ET El) OV CR CARLA CHENE PP tr TT TT 4° Si a — b, les deux paraboles ont même sommet, le plan tan— gent commun devient :

2(Z2 — i)(t— a) = pX + qY

B— KZ + à) + a + > (pX + qY) — 0

ce plan reste parallèle à la droite fixe

Il en résulte que l'enveloppe est un cylindre. En exprimant que { a une racine double, on a l'équation de ce cylindre

(Z— a) = 2(pX + qŸ); c'est un cylindre qui passe par les deux paraboles.

203. Soient æ, y, z les coordonnées du point M de la courbeS, qui sont fonctions d’un paramètre variable. Soient x, f5, ‘ les cosinus directeurs de la tangente, &', f5’, y’ ceux de la normale principale. On a :

be MRUUY M de SRE Pr rie Ur He RE dx IN LR dB / dy J'EN Si»

où R est le rayon de courbure. La binormale est perpendiculaire à ces deux directions, son sens élant tel que ces trois droites forment un trièdre pouvant coïncider avec celui des axes positifs, de sorte que les cosinus directeurs de la binormale sont :

(1 dl sb 0 Cl !

& —p, — y}, Go 0, == 45 — 62.

Les formules de Frenet donnent les dérivées de ces cosinus par rapport à s :

d2" ts a’ d3" LA G' d" EN y!

HT AU DUT dx ni d u d3’ ne 6 8" dy tal y 7!

RS D aute P US) OGn dE d ee d s C Ux

où T est le rayon de torsion.

Si par M on mène une droite dans le plan normal, formant

de T l'angle ÿ avec la normale principale, et > — 9 avec la binormale.

Si, sur cette droite, on porte une longueur MM, — /, le point M, à pour coordonnées X = x + (a! cos 0 + &" sin 8) Y = y + [(f! cos 0 + F" sin 0) Z—23+lI(;" cos 0 + y” sin 0).

car MM; a pour projections / cos 6 et ! sin O sur la normale principale et la binormale. Si 0, ainsi que x, y, z, est une fonction du paramètre f, et si l'est un autre paramètre variable, ces trois équations représentent une surface réglée. Sur cette surface, on a : dX — (x cos 0 + &" sin 0)dl + . ( + a(r — - cos 0)ds +- [(2" cos 0 — a! sin 0) É — ré dY = (Ë' cos 6 + 6" sin 6)dl +

+ B(r — ë cos 6)ds + {(" cos 6 — $’ sin 0) (% — LS dZ = (y! cos 8 + y" sin 6)dl + + y — À cos #)ds + Î(y" cos 0 — y’ sin 6) ( se ré

En éliminant d{ et ds, on a la relation entre dX,, dY, dZ, qui détermine le plan tangent en un point de la surface. En tenant compte des relations qui existent entre les 9 cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle, on a :

adX + BAY + yd£ — (1 — k cos 0)ds

R dix DUT NU Sn dE (Te 1) bd:

do

a COTON AZ ER DD dire fr fa 1) AU ds TE

(D — 1 )GAX —- BdY +- + dZ) A (1 — - cos 6) sin O(%! ax B'dY +" dZ)

— ( — Le) cos O(2'4X + B'dY + y'dZ) — 0.

Les coellicients de X, Y, Z, dans l'équation du plan tangent, ‘sont :

a(T = 1) + (2° sin 0 — %° cos 0) (1 — à cos 0)

et les expressions symétriques, obtenues par permutation circu- Jaire. Si le point M, se déplace sur une génératrice, le point M est fixe, / seul varie, lorsque / augmente indéfiniment le plan tangent a pour limite le plan dont les coefticients sont les expressions Eux dx Het

Le point central, sur la génératrice, est le se où le plan tangent est perpendiculaire au plan tangent au point à l'infini, sur cette génératrice. En exprimant que les deux plans sont perpendi-

( {TR — ï — (x! sin 0 — «" cos 0) —

culaires, on à *

DIÈÉ cu — à) + (x sin 0 — 4" cos {) (a ù cos ) | LE — 1) — (2! sin 0 — à” cos 0) — Lan | = 0

qui se réduit à

>| cos? 6 + R° ci \ds 7)

Le lieu du point central ainsi déterminé est la ligne de striction de la surface.

En particulier, si la surface est engendrée par la binormale,

la ligne de striction est la courbe donnée.

Si la surface est engendrée par la normale principale,

do RT° au Re

6 — 0 = ds

2° Pour que la surface engendrée par les normales soit développable, il faut que le plan tangent reste le même en tous les points d'une génératrice; c'est-à-dire quel que soit /, lorsque le point M ne varie pas. Pour / = o, ce plan tangent a pour équation

(X — x) (a' sin 9 — x” cos 0) + (ŸY — y) (5' sin 0 — BE" cos 0) + + (Z — 2) (y! sin 0 — y” cos 0) — 0.

Pour que le plan tangent reste le même quel que soit /, il fau-

(Te ui r) ne 7) 1e Us ET Pas à ds me. t)

: | ; RQ UE 70 he:

soient proportionnels aux coflicients de X, Y, Z. Si . — T n'était

drait que

pas nul, il faudrait

a! sin 0 — 2” cos 8 $' sin 0 — B’cos 8 y! sin 0 — +” cos Ô

S p Ÿ équations incompatibles. Car, en ajoutant les termes de ces fractions multipliés par &', É”, y, ou &”, f;”, y", on obtiendrait

SIDE cos 0 — o.

On doit donc avoir :

ds Ace dy, ik T° la normale considérée reste tangente à l’une des développées de la courbe donnée.

204. Ces théorèmes se déduisent immédiatement de considérations géométriques. La surface est l'enveloppe d’un plan tangent à une sphère aux points d'une courbe déterminée. Soient À, A’ deux points infiniment voisins de cette courbe. Les plans tangents en A et A’ se coupent suivant une droite dont la position limite passe par À. La surface développable est engendrée par une tangente AM à la sphère. Soit M le point de contact de AM avec l'arête de rebroussement. Le plan osculateur à cette courbe en M est le plan tangent à la sphère en À. La normale principale est parallèle à la tangente en À à la sphère qui est perpendiculaire à AM.

Le cône, passant par cette arête de rebroussement, dont le sommet est le centre O de la sphère, a pour plan tangent en M le

plan AMO, la normale principale à la courbe est normale au cône, c'est la propriété caractéristique des lignes géodésiques. En second lieu, MA est la droite tangente au cône et à la sphère, qui passe par M, l’arète de rebroussement est une courbe du cône enveloppe de telles droites.

1° Par la méthode de l'énoncé, on doit considérer une surface

tangente à l'origine au plan xoy, dont l'équation peut se représenter par la série

z = ax? + 2bxy + cy? + … dz = 2(ax + by + .….) dx + 2(bx + cy + ...)dy. Le plan tangent au point (x, y, z) a pour équation Z—z—0(ax + by + ..)(X — x) + 2(bx + cy +...) (Y — y). Il coupe le plan tangent Z — o, à l'origine, suivant la droite

2X(ax + by +.) + 2Y(bx + cy + .….) = ax? + 2bxy + cy? + …

Si æ et y tendent vers zéro, ”: tendant vers m, cette droite a pour

limite la droite

X(a + bm) + Y(b + cm) = 0 de coefficient angulaire m',

a + b(m + m') + cmmn' = 0.

2° Pour une surface développable, le plan tangent dépend d'une

seule variable, il en résulte que p — f(q), et, entre les dérivées secondes Fr, $s, {, de z, on a la relation r{ — s°. Ici on a :

p = 2(ax + by) + … q = 2(bx + cy) + … PE UN Tres «05 SES

2b + …, ER € PE donc ac — b?, la relation précédente devient a? +- ab(m + m') + bmm'— 0 (a + bm) (a + bm') — 0 a , . . Û a m'— — 7, excepté dans le cas particulier où m—— 7. Le plan

tangent dépend d’une seule variable, l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins est la génératrice de la surface déve-

Fasny. — Anal. 22

loppable. Si le point de contact décrit cette génératrice les deux plans tangents coïncident, leur intersection est indéterminée. 3° Il en résulte que la surface enveloppe des plans tangents à la sphère est engendrée par une droite tangente à la sphère; l'arête de rebroussement est une courbe dont les tangentes restent tan— gentes à la sphère.

4° La tangente à la courbe c, nr QU es:

EE MN DONUPS NRPETE

doit être à la distance R de l’origine, centre de la sphère.

Ses (ædx + ydy + 2zd:)?

dx? + dy? + dz?

R°(dx? + dy? + dr?) — Zx?2dx? — (Exdx)? — — (ydz — 2dy}? + (zdx — xdz)? + (xdy — ydx)?.

2? + Yi + 2 —

b° Sur un cône de sommet O, une ligne géodésique doit avoir pour normale principale la normale au cône, qui est perpendiculaire à la génératrice OM.

S1 les coordonnées æ, y, z d’un point de la courbe sont exprimées en fonction de l'arc s de cette courbe, les cosinus directeurs de la normale principale sont proportionnels à

dx d'y d?z D is , Le AE >] ds: ? ds? ds?

Pour qu'elle soit perpendiculaire à la génératrice OM du cône, il faut que l'on ait :

d'f ce y NE NA let CNT Ale à dy\? {dz\°?

aeatrat:a)-(r) + (7) + (à) pre

da dy 1 APN An Nr 'oir ° t7

x? HP + a (s + a} + b où a et b sont deux constantes.

(ydz — 1dy} + (2dr — xdz) + (dy — ydeŸ Sa?Sda?t —(Erdr) dx* + dy? + dt 04 Sd une

2e De

H faut choisir b = R?, Toute courbe tracée sur un cône, dont les tangentes restent tangentes à une sphère dont le centre est le sommet du cône, est une ligne géodésique.

6° L’arète de rebroussement des surfaces développables considérées est une ligne géodésique du cône, parce qu'elle vérifie leur équation différentielle,