ONE * A

la surface intégrale est n— I

Fed LAN Ve LE te 0 2 ) (4 Men SLT TE rie Ds)

Net

1—n 2 Î—n ui CL < 91 — 2! N — ] { 4 L

DL=10; x — y/9 NE

DL ère

2 = 1 — x +oy

hyperboloïde de révolution autour de OY, dont les lignes de courbure sont les méridiens, et les parallèles, situés dans les plans

Eee CT, à 4 =) c'.

Sin —1,les caractéristiques ont pour équations différentielles

da: dy dz V

L Tr. PA L

Les surfaces intégrales sont z — ef(s), cônes de sommets 0.

Pour que ce cône contienne la droite z — 1, æ = yV2 il faudrait qu'ii se réduise au plan x — yV2 : iln'y a pas de fonction z de x et y correspondant à ce cas particulier.

211. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

dx dy dz

ail tr — y? — ax — 2yz

que l’on peut mettre sous la forme :

SRI Es FAIR 2ydy __ 2(xdx + ydy + 242) LT— 24 2 ÿ—a—2 +har a+ y} +2

ce qui donne les intégrales :

L(x — a) — Lz + Le, Lx? + y° + 2?) — Lz + Le

TX — 94 —= CZ. a? + y° L— c'z.

Et l'intégrale de l'équation aux dérivées partielles :

Cette surface est engendrée par le cercle T — 24 —= CZ, a + y? + 2 — zf(c).

Le plan tangent à la surface a pour équation

(X—x) Ce PE) 0-02 y +2) arf + TE j' }o.

En un point du cercle générateur, cette équation s’écrira X— &) (22 — f'{c)) +(Y — y) 27 + (2 —2) (22— fe) + ef'(c)) = 0 il forme, avec le plan du cercle, un angle z :

Pre Aer 2% — [ (C) = car UE cf”)

Vi + eViox — f'} + (ay)? + (22 — f + cf) Du UE 3 men 1. LR 1 Vi + cf — 8af + (f — cf?)

æ e$t constant en tout point d'un même cercle. La surface est cir-

conscrite à une sphère le long de ce cercle, et sera l'enveloppe d'une sphère variable.

Une courbe caractéristique

T — 24 — C1, CH y +a— cz rencontre la courbe

Es À z(y? + 2°) — 8aÿ, si l'on a, en même temps

CZ — — 924, QU C2, (lt 11 (re on aura la surface, lieu de ces courbes :

‘2 € € £ T-— 2; Re eue

cette surface est l’enveloppe des sphères :

x? + y? + 2? — 2 Vaa(x — ga)t + z® = 0.

212. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

due dy pda (Va? +yi—a) «de + ydy dx? + y?

ee RAA EN ner T 14 zVx? + y? me |

qui donnent :

Ly — Lx + Le, Lz — L(ÿa? + y — a) LC Vite 2e c'(Vx? + y? w a).

Les surfaces intégrales sont

= (Va + y —a)f(À)

elles sont engendrées par la droite y 22 (RL d)fe Une courbe caractéristique rencontre la courbe HAUTS a? + y? — ha?,

si l’on a :

et FC QE oO RC NE — lz3(1 + c?) CANER CE

Le lieu de ces courbes caractéristiques est la surface :

ra ?— a x V AA Re ax? — (2 — x}? (a? + y?).

Cette surface sera représentée par les équations : æ —= U COS V, YuHsnp, z — (u — a) cos v.

Les droites v — C, sont des lignes asymptotiques.

On à :

an Li ns n ns s Ôæ ÔY Ôz Ôx Cy Ôz CR ne NE TS Ne SES êu ou du êu ôu ou Ôx ÔY Ôz Ôx ÔY ÔZ \ DA AC PRES et D . ie = = AsInmr ôv Ôv Ôv Qv OU Ôv 02x 02y 022 Sr? d2z > S 2 NE sn 5) x Su n Qu? ou? 0u Guv UV CUV + n ns x Ôy Ôz Ôu Ôu Ôu x Ôy Ô2 RL LES =uU COS ôU Ov ÔU Q°x 02y Jz ùu? Qu? cu”

l'équation différentielle des lignes asymptotiques est :

— odulv sin vu + dv’u cos vu — 0.

Le second système de lignes asymptotiques est donné par Mae du cos vdv 2du sin v — u cos vdv, 2——-.—uU SIN VU

2Lu — L sin v + Le, u? — csinv

(@e mx y”) — CN A Une génératrice rectiligne a pour équation v — c, sur cette

droite &y —= sin vdu, dz — cos vdu

dx —= cos vdu,

ses cosinus directeurs sont

COS U sin v COS UV fire se ges mass | | Ma RETARDS OT SENN PE Tl | MAR TRIES RENTE EE Vi -+ cos?v V1 + cos?v 1 + cosv

Pour une courbe quelconque de la surface, on a

dy = sin vdu + u cos vdv,

dx — cos vdu — u sin vdv,

dz — cos vdu — (u — a) sin vdu

en un point (u, v) cette courbe est perpendiculaire à la génératrice,

si l’on a :

cos vdx + sin vdy + cos vdz — 0

Lord D L(u — a) + . L(1 + cos'v) — Le

U— 4 1 + cos’v

V1 + cosv

ces courbes sont situées sur les surfaces HD) us CCR RER — a donne les équations différentielles