L'équation py — gx des courbes caractéristiques
dz ydx — xdy
TN CR yd PORN a x? + y?
e 9 LL 4 de “y niCt, ;
En posant æ — 9 cos «), y — 5 sin w, on peut mettre l'équation générale des surfaces intégrales sous la forme :
z — — aw + f(p).
ue ædy æ ydæ fe) ædæ + ydy
sin + f'(p) cos w, = = cos w + f'(o) sin w.
5 De dz —
La normale forme, avec l'axe OX, un angle & :
pf'{e) COS &W —+- a sin w CRETE)
COS
, Soit une ligne de
Dia
Pour que la section plane, æ — 0, w —
courbure, il faut (probl. 178) qu'en tout point de cette section la normale fasse un angle constant z avec OX. On a alors l'identité
enp° D PEN = Va igr a PR ONE € PACS P b2 JE) — p° Vb? — 0! | 2 2 FUNAT TES Dernie PC et b pe OR AP ET he PAL SS 55 Né nan er PL Fes 3° On a alors :
ds dz = — adw + ÿb? — Fee Les équations de la normale sont :
X — x DA Y— y Z—2z a sin & + ÿbt — 2 cos w — a cos w + Vb — p'sinvw ner
ses cosinus directeurs sont égaux à ces dénominateurs multipliés
COS (e à EN 0 par ——. Elle forme avec la droite pate ECS Ra Sin & —-COSW Oo
perpendiculaire au plan MOZ, un angle égal à &. Il en résulte que
fn" FOR FE CE Ds a. Hi
les sections & — €, par des plans passant par oz, sont des lignes de courbure.
L'équation différentielle des lignes de courbure est :
‘ D — ed Le — E F F4; , E p .
a sin wW—-Costw ÿ b?-—p?, adw— TR ) cosw—sinwdw ÿb?—5?, coswde—psine de
2 A2 V oi te
# F, 9 De Eu F
M eee edo — .
— a COS W+-sintw y b?— 0°, (atu—"#$ sinw-}-coswduw y b—0?, sinwdo+ocoswdw | —=0: \
9, — d;, — adu-+ VE P
Si on remplace les deux premières lignes par les sommes obtenues en les ajoutant après les avoir multipliées, d’une part par cos et sin ©), d'autre part par — sin & et cos W, celte équation devient :
VD? — ? adw — —— d
2 Vb2 jus c? 0
— 4, Vb? — 52? du, 2du —= O
— », — d, — adw + ÿb? — pi ss CR DURE MA ane
Le premier système est w — c. Pour le second système, on a : b? do — adw + —— © —0o
b? p Dh TA F
nr,
ou b A VS ee D? ne ce" cots (à
bi ME Sn een
var ce” cote (7 “ia 1 ep uw cotg æ
ef
Pour déterminer les centres de courbure, on peut représenter un point de la normale à la surface par les expressions :
X — p cos w + (a sin w + ÿb? — p? cos w) Y — p sin © + ji a cos + ÿb? — 5? sin w) Z = 2: — pt.
Le centre de courbure peut s'obtenir en supposant 5 fonction de «), de façon que le point de la surface décrive une ligne de courbure, { étant déterminé en fonction de w par la condition que dX, dY, dZ soient nuls, ou que le centre de courbure est le point d'intersection de deux normales infiniment voisines.
Sur la ligne de courbure w = c, de) — 0, on a :
s l cos wWd? + (a sin © + ÿb? — p? cos w)dt SE ERS edp = 0 vb — p?
: = —— {si sin wdp + (—acos w + Vb?— 53sin & }dt — = s = Pd— 0 2 — 09
VER À — eat — ip = 0
dd —"0, L'R
Le rayon de courbure est
Ver — M ne .
p COS x
t Ja? + b? —
Pour une ligne de courbure du second système, on a : b’do p vb? ur p?
F IAE te d (de +VE—E di ue \ ÿb? EE pe?
— (sdw — adt + 1/02 — pi du) sin w — o
(ae + Vb? — 7 dt — D + at) sin © + br —
ÊLe (pd —"adt 410% 12 do) COS w — 0
aduw —
+ at) COS © —
ou
Pts panel ee
edw — adt + 1ÿb? — 6? dw — 0.
En éliminant dt, et remplaçant do par
P = — ——— Vb? OMS Le rayon de courbure correspondant est :
LUNA ao EVE HP = —— Va + cos & ÿb? — p?
214. Les courbes caractéristiques sont déterminées par les équations :
de. dy di dz __ ædx + ydy + zdz 2%Z 2Y2z Z—a —y zx + y" + 2) FA POULE RG Pa terme D.
x y x? Dane LE ZE et: D +y + — 0cax.
Les surfaces intégrales a? + Y + 2 — af(*) sont engendrées par les cercles NET a? + y? + 2 — xf(c) qui sont tangents en o à l'axe oz. La surface passera par le cercle æ— a, 2 — y? —= a, si l'équation
20? + 2y? — af(2)
est vérifiée pour toute valeur de y.
On a la surface :
D? + y? + 2? — al +£).
