Les équations différentielles des caractéristiques
ar Ne: dz MRGE EN de ,d@œ — 7)
HULL Hz 2 z x — y PE
donnent x +Y—=0c, z — c'(x — y}.
Les surfaces intégrales sont :
2 = (2 — 7) fe +7)
Fagrx, — Anal. 23
304 PROBLÈMES D'ANALYSE MATHÉMATIQUE ou mer u), T—Y—=U, T+Y—=U.
2° Si u et v sont les variables indépendantes, on a :
dz — ouduf(v) + u?f'(v)du dz — af(v)du? + 4uf'(v)dudu + u?f"(v)
l'équation différentielle des lignes asymptotiques est :
Jo +4 do + 1 a — 0
— af'(v) LT -- 2f(v)f"(v) de
u TO)
Lui L/() = VE T0 ue doc.
3° Une courbe du plan xoy peut être donnée par l'équation u — p(v), c'est la projection d'une ligne asymptotique si l’on a : ro (EN + 4e 0 + jo 2 f{v) es + 4j 0 2 + fl) = 0
c'est une équation différentielle linéaire, qui détermine la fonction
QE
Si la courbe donnée est
D Ve= NUE o{u) —1a, DU) 0, l'équation f'(v) — o a la solution générale f{v) = x + fv. On a la surface 2 = ua + Bb) — (x — y} [e + Be + y)].
L'équation différentielle des lignes asymptotiques (4 + Bu)du? + 28ududv — 0 se décompose :
du — 0, da PAPE bd u Gate DU Les deux systèmes sont les droites ME z — c?(x + fv) et les courbes dont les projections sont
u(a + Bu)? — 7".
!° La section = b, u?f{v) — b sera une ligne asymptotique, si l'équation différentielle des lignes asymptotiques admet cette solution, pour laquelle
du. f'C) u TU) CR ce qui donne :
y — 3 JT CŸ SI ait PEL eo EN:
DS tft, f)= ft) 3 1 f *df—= cd, HSE Rare
On peut mettre cette solution sous la forme
= pm ef):
L'équation différentielle des lignes asymptotiques devient : (a) 4€ <a et dv nt Fr. uv+b 0 + s) ai
(e dv du 3 dv cs St ee +) =
On a les deux systèmes :
u — c(v + b), u — c{u + b}°, Le premier est formé des courbes situées dans les plans z — ac. 216. Les équations différentielles des caractéristiques sont :
EN: Pi AIR ON EZ APCE TAN SE SN SIL où éhes sin Ti e —e *
CH TL —= COS ie — —— ——, sh æ — — +$e 2 l 2
On en déduit les équations des courbes caractéristiques : (a) Re D ÿ == 6 0h x
Les surfaces intégrales sont
2° Les courbes caractéristiques (1) rencontrent la droite
