LT — Y —2Z

si l'on a :

C— x b — D put TR ich each ces caractéristiques :

2? — CY, PS SPC Y J ch c

engendrent la surface intégrale 2?

y? ch Fe RE (CRE

3° Les caractéristiques (1) rencontrent la parabole T — 0, 2? — 2m(y — à) si l'on a :

VD, 2 = ch — 2m(b — a)

2am ramené ces caractéristiques :

AE + 2am | 2m C engendrent la surface intégrale :

omy — 2° = 2am ch x {4° La chaïînette 0) M RRACU CE

est une courbe caractéristique, qui correspond à C0; b — «.

Par cette chaïnette passent une infinité de surfaces intégrales qui ont pour équation Fe r=f(+) Ch, QU (ON EST 217. Les équations différentielles des courbes caractéristiques sont :

CEA AE

L'an LT Te

x PT az

dont les intégrales sont :

VENTE: Ho,

D'où l’on déduit les surfaces intégrales

re)

d de aef(L)de + (ady — vds) (2)

ur 2f(Y de +ap'(Y Jode ed) R + + (EE) re) — 2/f(t)de? + 2xf'(E)dide + x?f"(t)dé?

où y — x. L’équation différentielle des lignes asymptotiques est :

8Si

On a :

AO) + a 0 À + JO = de 2 — 0 2 PT YPO y SIL

A pe QE CAO BE OTAG L [= D dt.

FO) — 2fOf D = 0,

d FO po AO FO: JO DT) = OO IE = pis LUN MON

HO NO EN Eee 701

Ve YO =? 14 à

f( = AP + 2Bt + C,

À, B, C étant trois constantes arbitraires. On a alors :

JE — aff" — AB? — AC).

La surface

z — Ay? + 2Bxy + Cr°

est un paraboloïde, dont les génératrices rectilignes sont les lignes asymptotiques.

4° Les caractéristiques (1) rencontrent la courbe

MO, ve si l'on a :

C'ÉNS, CNT LE

La surface, lieu de ces courbes, est :

nee Fe À + 2%, ft = at.

L'équation (2), qui détermine les lignes asymptotiques, devient :

FENTE, dé dt dx 7 Ale h Ye Tr =, 21(1 Æ V3) LE = 2(1 + /3)Lx + Le y = cx5+2v3

5° L'équation différentielle de ces courbes, obtenue en éliminant c, sera :

dy qe de dx (3 2 293) ee L'équation différentielle des trajectoires orthogonales, obtenue dy dx en remplaçant 7 par — à és ue xdx + (3 + 2Y3)ydy — 0 a? + (3 + 23)» — e systèmes d’ellipses et d'hyperboles homothétiques.

218. p v ÿ — V z est une équation linéaire. Les caractéristiques sont déterminées par les équations :

PR RE PASS LIN Y —= 4, x — 2/a2 + b.

Les surfaces intégrales sont :

hyz= (x — f(y)).

219. Les courbes caractéristiques sont déterminées par les équations ::

— = —, Y = CT, z—

L'intégrale générale est

Soit le cercle DE S'én AR rl 2 à

les droites caractéristiques rencontrent ce cercle, si l’on a : ac? + e!? —= R?.

Le lieu de ces droites est la surface conoïde : y \ 2 y?

(aL) +2 = ou Po ie E

Si on pose

o(t) — VRE — 8 les lignes asymptotiques sont les génératrices y = cæx, et les courbes dont les projections sur le plan xoy sont {problème 163)

il ee NA MEN \/R —#i

220. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

cx ou Ve crie av).

dx 1 dy ne dz Y— 2x + 2xz 2y(2— x) o on en déduit :z—c dy a(x — c)dx a(x — c)dx + 2ydy

Va x? 270 — y° x? — axe + y?

Ly = L(x? + à” — 220) — Le!

Les équations des caractéristiques sont :

pet, a? + y? — 2x2 = c'y.

Les surfaces intégrales : a? + y? — 2x2 — 2y/f(2) sont engendrées par un cercle dont le plan reste parallèle au plan æ07y, dont le centre sie y—/f( décrit une courbe dans le plan x — z, ce cercle rencontrant l'axe oz.

Les cercles caractéristiques rencontrent l’ellipse D '==\0) Vip ie, si l’on a A Vaion ct EU = Aa.

Le lieu de ces cercles est la surface :

(x? + y? — 2x2) — hy*(a? — 2?)

Les courbes de niveau sont les cercles z — c, dont les projections sur le plan xoy peuvent se représenter par l'équation : (x -— a cos t)}? -- (y — a sin t)? = &à a? + y? — 2a(x cos { + y sin t) dont la dérivée donne :

ædæe + ydy — a (cos t dx + sin { dy) on en déduit :

2a(ydx — xdy) cos t — 2xydx + (y? — x°)dy 2a(ydxæ — xdy) sin t = — 2xydy + (y* — x°)dæ.

L'élimination de { donne l'équation différentielle de ces cercles :

4a*(ydxe — xdy}? = (dx* + dy?) (x° + y?}?.

À d d A TALN AS SR UANE En remplaçant par — D , on a l'équation différentielle des

trajectoires orthogonales, projections des lignes de plus grande

pente :

4a?{ydy + dx)? = (dy* + da?) (x? + y?}?.

En coordonnées polaires, cette équation devient : ha?dp? = p'{dp? + pduw?) do — VAa? TATTY p° Fi — CN TE Te 11 PE UP RE Re Vin? — p?

V pe?

Aa? Pa + W) == =— Pen ee SA LG SLI PSS EE ? 24

équation des projections des lignes de plus grande pente.

221. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

ERA 1 dz DU OU par 0 (AN ETS) adz — ydy __ydx + xdy dz 0 EEE Y') VMe(EE HP?) d(xy) de TY z

Les équations des caractéristiques sont :

A A de Quye Les surfaces intégrales : 2 = af — y) TAC dt dz— 2f(a* — y*)dxdy + 4 fa — y*)\xdy + ydx) (xdx — ydy) + + af — p°)ey (de — dy?) + fe — 7er (cde — ydy}.

L'équation des lignes asymptotiques, dz — 0, doit admettre la solution

DV EC) ædx — ydy — 0,

id laçant par 2:

ce qui donne, en remplaçan Fe par y .

fe? — y) + (y? — 2°) f(x? — y?) = 0 ou

ir Ja

z — axy(x° — y?).

L'équation des lignes asymptotiques est alors :

(x? — y°)dx dy + 2(xdy + ydx) (xdx — ydy) + xy(dx? — dy?) = 0 3(xdx — ydy) (xdy + ydx) — 0.

Les projections des deux systèmes sont :

DEVIS C: TRES Ce

3° Le plan tangent à cette surface a pour équation :

Z — aXy(3x? - - y?) — aYx(x? — 3y?) — 3axy(y? — x°) ou :

dns 2 PSN BP x 97 y x PRRNE

Re vs ax — y?) re)

Une surface z — f{x, y), dont le plan tangent est : Z—z=pX — x) + q CE — 7), la coupe orthogonalement, si l'on a :

32? — y? TA re en ae y) PE 17)

c’est l'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

MT A AU à A Ce à 1 BA — y a — 37? y? — x° LL — ydy __ adx + ydy “zdz a (D IR NAG RIRE JDE MEET Da? — y} — (a? + PP — 6, a + +=.

Les surfaces orthogonales ont pour équation : Œ? + y + 4 = f{at + y* — Gx°y?).

222. Les équations différentielles des caractéristiques sont :

dx Ur AN DRE ET OU a ae

Les deux premiers rapports donnent une équation homogène. En posant y — {x, on a :

dy ydæ — ædy __ —1dl LS 2 CHA 2 TEE ET NA GE MN ES

Les équations des caractéristiques sont :

AE A (Ge PS dl à SET

L'intégrale générale est :

Les courbes caractéristiques rencontrent le cercle x? + y? = R?, Z=—= a) s1l on a%

pire Rae — c(R?c? — a).

Le lieu de ces caractéristiques est la surface :

aR°z = (2? + y?) (R?z2 — a?y?).

223. Les équations différentielles des caractéristiques sont. :

dx dy. __ dz .:ædx + ydy

— A TEE

CRE et D ONE AE LA) A ei ES US Ces caractéristiques sont des cercles, dont le plan reste parallèle au plan æoy, qui rencontrent oz, le centre décrivant.une courbe du plan xoz. Les surfaces intégrales, engendrées par ces cercles, Sont :

ee)

La section, y = 0, sera la parobole 2° — 2ax, si f(x) — ax. On a alors la surface :

D — 20 — TA æ Sur cette surface, on a :

zdz — a(dæ + 2 L dy — E dæ) y 2 2d?z — — de? + zaæ à x .

Ed UE ; Pass . D.

Les projections, sur le plan xoy, des lignes asymptotiques sont :

PA) M Et Mets Pt

zx x ou, en coordonnées polaires :

2 3 c* cos? À ST ] = 7, = ccos0 t( 2 8 =).

(he sn 0) 4 2