Si on pose
‘On à :
Ôz ax Ôy by Rs —=p—= —; en Et Z OZ Z
on doit avoir :
et, en remplaçant 2? par ax? + by° + c, © + b—o, ce qui donne l'intégrale complète :
2 — ax? — c°y? + ce.
2° Pour avoir l'intégrale générale, on cherche l'enveloppe des surfaces obtenues en posant a — o(c) :
22 — oc) — y? + ec
Oo — x?p'(c) — 2cÿ? + 1.
Une surface intégrale est représentée par les équations
1 + æ°v/(c c C D ee ), FES tn æ(o(c) — rs o'(c))
où c est un paramètre variable.
3° La courbe
D TEEN ts Ed:
coupe cette surface aux points déterminés par les valeurs de c que l'on obtient en éliminant æ, y, z. On a ainsi :
D'IQ
— anti taf), 1 — = + a(g(c) — 2 (ce)
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 367 en ajoutant ces deux équations, on a :
C 4 C — 2) w'(c) + pc) + 20 + 1 = 0.
La courbe sera située sur la surface, si cette équation est vérifiée quel que soit c ; c’est une équation différentielle linéaire qui détermine la fonction w(c). On est conduit à poser
on a alors :
du 2H I 10 Aa de (c— 2}$ (ec — 2)? (ce — 2} 5 À 3 — Ac U — ÿ — /. \ 5 (e — 2)? C— 2 (e — 2}?
o(e) —= 3 — c on a la surface Et c PT, = + (3 — 2x
Où :
GE — Bat) — (1 — fat).
227. Pour intégrer l'équation aux dérivées partielles J&, 7,2 p, 4) 0, on forme les équations différentielles des caractéristiques :
7 OC A dz D —dp ! —dgq
PNR A NP AN SENTE ee Rte Cned je dont une intégrale est f(x, y, z, p, 4) — c, la constante c devant être nulle. On a, pour l'équation p° — q? = 22
Ad ORNE LD RE dé
Cr ue er nu
On en déduit les équations des caractéristiques :
D Xe bg bp, y cg, Van D q°
qui donnent p, q, yet z en fonction de x ; a, b et c sont trois constantes arbitraires.
La fonction z, qui se réduit à (1 + y}? pour x — o, est une surface intégrale qui passe par la courbe x — 0, z = (1 + y}. Mais
il faut en outre que, en chaque point de cette courbe, la tangente dont la direction est donnée par les expressions
dx — 0, dz = 2(1 + y)dy,
soit située dans le plan tangent à la surface intégrale, dont l'équation se déduit de la relation dz — pdx + qdy. C'est-à-dire que l'on aura, en chaque point de cette courbe, 2(1 + y) — q. Ona ainsi 7 équations qui doivent être vérifiées en même temps, et donnent :
WE 0: De 0: Teaut, y = c— ab, 22 = a? — ab?
a? — ab? — 2(1 + c — ab}, 2(1 + ce — ab) = ab. Il reste ainsi deux relations entre a, b, c.
La solution a — 0, c—— 1 donnerait x —=2z=0, y—=—1 et des caractéristiques qui passent par le point fixe (0, — 1, o) de
la courbe donnée. La surface intégrale, lieu de ces caractéristiques, ne contiendrait pas la courbe donnée. Il reste la solution :
b—æ+\/2, A ae 3 2 et les caractéristiques y + dx + a) — 06, 27 — (1 — D?) (x + a)?
En éliminant a, b, c, on a le lieu de ces caractéristiques, qui est la surface cherchée :
=(i+yte/À)
Il ÿ a deux cylindres paraboliques qui répondent à la question. 228. Les équations différentielles des caractéristiques sont : EN PONT IT ME dz DR Par MR mb NA Pi re AT AT ap NU
dx __ dp — dq dy d(29 — p)
P—q 2{p—q) 2qj—p 224 —Pp)
Les équations des caractéristiques sont :
P—I—=2X + a, 29 — p — 2} + b, Pt 47 = p°? — 2pq + 24°.
Pour en déduire l'intégrale générale, on peut remplacer les constantes a, b, c en fonction des valeurs initiales, Soit %) — O0, On aura :
= dre (2—cg =20 +, 41 = qi — 20 + 2) qui donnent oi = et, a — 42, — qà, b— 99 — 2) — V4 — 4q$ Les équations des caractéristiques prennent la forme : Sont Eine 2 — FAST (ox + V4, — qè).
La solution générale de l'équation aux dérivées partielles s'obtient en posant :
Moi Z = (1), Go —= ?(L) où © est une fonction arbitraire. On a ainsi, en fonction du paramètre {, la surface intégrale :
g'(1) ) = LE T k Créer. |
La parabole x — 0, 2z — y? rencontre cette surface au point
En he TO (AR
La parabole est située sur la surface, si la fonction w({) est égale
ie de façon que l'équation 22 — {? soit une identité. On a alors :
=, gt) =t
V ho — 9? peut prendre les valeurs Æ {, ce qui donne les deux solutions :
ve À 25 (Ra) — (y ax) et Vente as (0120) y",
Fagryr. — Anal. 2/
Les deux cylindres 22: = yÿ?, 22 = (y + 2x) répondent à la question.
229. L'équation z — px + gy + p° admet l'intégrale complète z = ax + by + aŸ, qui donne p — a, 49 — b.
L'intégrale générale est l'enveloppe du plan
2 = af(t) + D + (0.
Dans le plan y — 0, la droite z — ax + a reste tangente à la courbe 4x* + 272° — 0. Tout plan tangent à cette courbe est une intégrale complète. Les équations :
y=— af") — 3f QG f' (1) 2 = a(f{t) — (1) + (0 KO — (0) qui déterminent l'intégrale générale, représentent une surface développable passant par la courbe y — 0, 4x + 272 = 0. On peut aussi former les équations différentielles des caractéristiques :
di en OM dz dp dq
Dé pt) Ly pa + qy + 3p° Fe O
qui ont pour intégrales :
DEA, =D. y —= c(x + 3a°), z = ax + by + af.
POUTT — 0, 0nt#:
E— SELLE, b= qu 2
J'odo) Ke 3 Les équations des caractéristiques prennent la forme :
YoT
Re JT Ga Jo ZT + Qi) + Lo —— Vider a == \/20 — J'odoe
En posant Yo: ==) D = JE):
On a la surface intégrale :
tn i +1
ETORTIN ed ON
