EE

El + pd = SE + 0)

2° Si on pose, en coordonnées es 3

æ— p sin 0 c05®,

y = ? sin Ü sin », RS

o cos 0

l'élément de volume est a sin ÿ do do de

Dee ve 4) J dxdydz — ff 1 + J") p? sin 6 do dû de.

Entre deux sphères de centre 0, de rayons a et b, on devra faire varier 0 de oh r,#deoà 27, p deaàb.Ona

ie & [© sine [7 L2f" + apf')do =

= hn(e2 fo) = 4R(DUŸ'E) — af).

3° La fonction /(o) devra vérifier l'équation différentielle

fe) + 5 SE) + pat) = 0

c'est une équation linéaire, qui a des solutions de la forme

f=p", où Der A fe at ER

ee

1 r = Le L4 Lé — , étant une racine double, la solution générale est

NA GEEN 7 NE Pen PE 238. L'équation aux dérivées partielles pVz + qV—y—=o

donne les équations différentielles des caractéristiques :

ARC Ne Vx Vert) (e) (1) Va + V— y = c, NN re Dans le plan ÿoz, l'équation différentielle donnée peut s’écrire : dy 4 dz DA dy — dz 2 — 2ÿ? — 301 —7Y) 2—32+2 —2y + 5yz — 2° dy dz dy — 2) 1 — y QUE 2 y «fe 2

d'où l’on déduit :

dy ur odz d(y — 2) Le NE M Z — 2 À art PTT OS 2 (y Ab G—2} SAS DIE AO :

Une courbe caractéristique (1) coupera cette courbe, si l'on a : Vic (ce? + ©") (ec! — 2)? — a(i + 6°).

En éliminant c et c’ on a la surface, lieu de ces courbes :

(Vz en V— y) [ (a — 2)? — a| — a — zx{z — 2)

cette surface passera par le point

RS RU EN RES sl 4(4 — a) = a, a=—

16 — Dz(z — 2)

RO ETS TES

On pourrait remplacer ÿ— y par —ÿ/— y, ce qui donne la surface (x — y — 2V— xy) [(z — 2} — a) — a — 2(z — 2)? qui passe par le point donné si a — 0, on a alors la surface conique (x — y + 2)? + 4xy — 0 qui passe par la droite x — 0, y — 2, solution de l'équation donnée. 239. L'équation aux dérivées partielles P(p° + q°) = 80 donne les équations différentielles des caractéristiques LCR y De dz ___ —dp — dq Dé qe (pq pp +4) qAp +4 Pz pd Ph TE PAP CR (PEU qui donne g — cp; en tenant compte de l’équation donnée, on aura :

zpV1 + © = ay3 ne. zdz GC ay 3{(i + €)

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 383 ce qui donne le système d’intégrales des caractéristiques :

Y= CE + c, 22 — oax V3(1 + ©) + c’

: vi 3 RU Vope- a

à GE VE Fer Vis

qui déterminent les courbes caractéristiques, et le plan tangent à la surface en chaque point d’une caractéristique.

Une caractéristique rencontre la courbe

si l’on a :

doit, en outre, être dans le plan tangent à la surface, ce qui donne la relation :

de x » As q= avi =) +, ce — Vo, et c' — 9ac! V2.

Le lieu des caractéristiques définies par ces deux relations sera la surface intégrale, cylindre parabolique :

2 — Gaz + 2a Va (y — CNE) ou 2e QE 24Y V2.

240. Les équations différentielles des caractéristiques de l’équation

sont :

dr dy é: dz — 2dp P pp F4 pé

L'intégrale q — c'p donne, en posant c = tg c :

———— cos © in <tsin C p= va — À F q = Ve — À ——

on en déduit une intégrale complète par la relation

ra z = pdx + qdy — “osier (cos cdæ +- sin cdy)

Va —z—c —zxcosc—7ysinc ou

& — 2? + (x cos c + y sin c — c'}°?

c'est l'équation d’un cylindre de révolulion autour d’une droite du plan xoy, et de rayon a constant. Tous ces cylindres restent tangents aux plans z — + a, et l’on peut vérifier que z = + 4, p = gq—o est une solution de l'équation aux dérivées partielles, c'est la solution singulière.

2° La solution générale sera donnée par les équations :

Var — 73 — f{t) — x cos t — y sin!

f'O) + œ sin t— y cos i= 0.

La surface représentée par ces deux équations coupe le plan z — b, suivant une courbe qui est l'enveloppe de la droite

æ cost + y sin t— f(t) — Va? — D.

Pour que cette enveloppe soit le cercle x? + y* — R?, il faut que HU) — Va — BE —R

ft) est constant, et la surface est représentée par les équations

æ cost + ysint—=R + Va? — b? — Ya? — à æ Siné — y cos { — 0

Va? + Re Va? — D? — Ya — 7

c'est un tore, surface de révolution autour de oz, la méridienne étant le cercle

(y — KR —- Va? — D} + 2? — a?.

3° L'intégrale complète considérée représente un cylindre de révolution de rayon a, dont l'axe est dans le plan xoy. Si cet axe reste tangent à une courbe c, l’enveloppe du cylindre est engendrée par un cercle de rayon a dont le centre décrit la courbe c, le plan reste normal à la courbe c. En particulier, si c est un cercle de centre o, la surface engendrée est un tore.

ï v Di uvÉEs PARTIELLES