APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

2h41. Le plan tangent Die PO) Ut 0)

ra RAA coupe la droite Z/— 0, y ren un point donné par les équa-

tions :

EN he à M G. Ÿ | | pr + y RL UN Vite UE eriRe ETES VX + ape Va? +)

ce qui donne l'équation aux dérivées partielles : pale — R) + qy (VE +R —R) = eve En.

Les courbes caractéristiques sont déterminées par les équations

différentielles ed nee RE MR

Ly — Lx + 0, Le—L(YE+p—R) +.

Les équations des courbes caractéristiques sont : Ve ETe Li (Va + y —Rjer.

Cette courbe rencontre la parabole x — R, y? — 2az, si l'on a : 2az — c?R?, L— C'(VR? 2az en R) CRE SAR ( 1 + c? — 1).

Le lieu de ces courbes est la surface cherchée : P'R(Ve? + y — R) É aazæ(Vxt + y? x) (x? + y?) (Ry? -— 2axz)? = (R°y? — 2ax°z)°

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES et, en divisant.par y? :

ha n?z? — haxzR(2? + y? — Ro) -+ R?y2(x? + y? — R?) — 0 Se = R a? + y? — Re Æ (R — x) x? +].

Surface engendrée par la droite

ci Z 1 ». Pas

forme avec oz un angle dont le cosinus est

Vi + p? + q°

La projection de z sur la normale est

Le À

L'équation aux dérivées partielles des surfaces S est :

RSR pe sont à

ÊEE

2° Siuet v sont deux constantes arbitraires, la relation :

gr 2 +Vz* — a? à LEE à cos u + y sin uv

est une intégrale complète ; on en déduit, en effet :

adz -—— — cos udx + sin udy Vz? — a? - cos u —— Sin u 2? — a?

— Ya — a —, = ÿzt — a? ——, 4 As :

p—V ne IV Pa MAN cn " Il en résulte qu'une intégrale quelconque est définie par les équations :

ES 2H Vz — a

À æ COS u + y sin u + f(u) (

@) — æ sin u + y cos u + f(u) — 0

qui donnent l’enveloppe de la surface précédente.

3° Ces deux équations déterminent x et y en fonction de u et z. On en déduit :

\ cos udx + sin udy = -——— (5) | Van A

sin udx — cos udy — (f"(u) — x COS U — y sin u du

COS UN Sin u p=— Vaeas Je Vz? — ai

EE pd NA TEEN L'EOEE Vas avi? — a? \ a

LS Ÿ z +2? — a dy + qdi = ——— dr — cos u( + f — aL EE

L’équation différentielle des lignes de courbure peut s’écrire :

dx + pdz dy + qdz

dp dq MR rire dz + sin n + f — aL a Le avz? — a re —, z COS u

— sin uÿz? — a? Pre aa dz

z? sin u z + Vz ——— dz — cos u| f" 20e à ir) du

avr—é (r+ f cos u V2? —- a? du + A cn à

V2? Un

En développant, les termes en du? et dz? disparaissent, et cette équation se réduit à dudz — o. Les lignes de courbure sont définies pau—c,etz—c!.

Ce résultat pouvait se prévoir, car la normale en un point de la

surface S, re ra Ar A Tir COS u Sin u CL est aussi normale à la surface mobile, définie par la première des équations.

S1 u est constant, elle décrit le plan

— X sin u + Ÿ cos u + f'(u) — 0

et on a bien une ligne de courbure.

Si z est constant, la normale à la surface forme avec le plan XOY

a HAE un angle constant, dont le cosinus est —. On peut en déduire que

cette normale engendre une surface développable. 4° La courbe rencontrera le cercle z — a, à? + y? — 2x, si les 4 équations en x, y, z sont vérifiées en même temps. On en déduit :

æ COS u + y sin u — — f{u), fHft= 2 + y = 2x f? + f?= 2X(f' sin u — f cos u) (f'(a) — À sin u}? + (f(u) + À cos u}? — X?

f'(u) — À sin u — VA — (fu) + X cos u}?

arc cos (fe —+ cos u) Ont C ( a — /| PRES Ps À 1 v. 1 2, J{u) À cos (u + c) À cos u 2À sin = sin (u dia k

On aurait pu prendre le signe Æ devant le radical, mais on arrive au même résultat en changeant c en € + x. 5° Des équations (2) on déduit les relations (3) et, si u et z sont considérés comme fonctions des variables indépendantes x et y : zdz°? Vz? — a?

ue

2 De (te

d?z — (cos udy — sin udx)du.

Les lignes asymptotiques ont pour équation différentielle,